From 593bf52372de7822e629189fa10ba4ff923e4667 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Thomas Ba Date: Wed, 7 Dec 2011 12:46:38 +0100 Subject: [PATCH] Vorlesung Berechenbarkeitstheorie aktualisiert --- .../Berechenbarkeits-KomplexTh.tex | 85 ++++++++++++++++++- ...hrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex | 2 + 2 files changed, 86 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex index 3f6d37b..bd9f835 100644 --- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex +++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex @@ -50,7 +50,7 @@ \newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}} \newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}} \newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}} -\newcommand{\bew}{\textcolor{greenblue}{\textbf{Beweis: }}} +\newcommand{\bew}[1][]{\textcolor{greenblue}{\textbf{Beweis}}#1:} \newcommand{\bsp}{\textcolor{lightgreen}{\textbf{Bsp.: }}} \newcommand{\rrfloor}{\right\rfloor} \newcommand{\llfloor}{\left\lfloor} @@ -1036,6 +1036,89 @@ Jetzt ist \(t=0\). Dann nach Fall 1. \end{enumerate} + NP-Vollständig sind: \(SAT, 3-SAT, NAE-SAT \) + + \underline{k-Färbbarkeit} + gegeben: \( G = (V,E) \) ungerichtet\\ + gefragt: \( \exists f: V \to \{ 1, …, k\} \) mit \( f(n) \ne f(v) \quad \forall (u,v) \in E\) + + \satz 3-Färbbarkeit ist NP-Vollständig\\ + \bew[ in NP] gebe nichtdeterministisch jedem Knoten eine der 3 Farben. Dann prüfe, ob es eine 3-Färbung ist.\\ + Beachte: Suchraum aller Zuordnungen von Farben zu V hat größe \(3^n\) + + Es gibt \(k^n\) Funktionen \(f: V\to \{1,…,k\}\) + + Zeige: \(NAE-SAT \le^P \) 3-Färbbarkeit.\\ + gegeben: $F$ in \(3-KNF\)\\ + Konstruiere einen Graph $G$, so dass \( F\in NAE-SAT \Leftrightarrow G \) 3-Färbbar + + \bsp \( F = ( x_1 \lor \overline{a_x} \lor x_3 )\land … = c_1 \land c_2 \land … \land c_m \) + + \begin{enumerate}[1)] + \item + Sei \(F\in NAE-SAT\) und \( a=(a_1,a_2,…,a_n)\) eine erfüllende Belegung für $F$. Dann ist G 3-Färbbar.\\ + $x_i$ Farbe $a_i$ und $\overline{x_i}$ Farbe $\overline{a_i}$.\\ + Bei den Klauseln: pro $\triangle$: + \begin{itemize} + \item wähle ein Literal mit Wert 1 und gebe Knoten die Farbe 1 + \item wähle ein Literal mit Wert 0 und gebe Knoten Farbe 0 + \item Knoten vom dritten Literal bekommt Farbe 2. + \end{itemize} + \item Sei G 3-Färbbar:\\ + Der Wurzelknoten habe Farbe 2 (sonst permutiere Farben in $G$).\\ + Sei $a_i$ die Farbe von $x_i$ im oberen Teil, d.\,h. \( a_i\in\{0,1\}\). Belege Variable \(x_i\) ind $F$ mit $a_i$. + Dann ist \( a = (a_1,…,a_n)\) eine erfüllende Belegung vonm $F$.\\ + In Klausel-\(\triangle\) gibt es alle 3 Farben. Literal mit Farbe 0 hat Wert 0 in der Klausel, Literal mit Farbe 1 hat Wert 1 in der Klausel.\\ + \(\Rightarrow F\) ist erfüllt. + \end{enumerate} + + $G$ bipartit.\\ + \( \Leftrightarrow G\) 2-färbbar\\ + \( \Leftrightarrow\) alle Kreise in $G$ haben gerade Länge. + + Algeimein für 2-färbbar: + \begin{enumerate}[1)] + \item starte mit beliebigem Knoten $v$ und gebe $v$ Farbe 1 + \item Wiederhole:\\ + \spa gebe Nachbarn von $v$ andere Farbe, wähle nächstes $v$.\\ + Trifft man dabei auf einen bereits gefärbten Knoten mit anderer Farbe als er jetzt bekommen sollte, dann ist $G$ nicht2-färbbar. + \(\Rightarrow\) 2-Färbbarkeit \( \in P\) + \end{enumerate} + + \satz $HAM$ ist NP-Vollständig\\ + Zeige: $3-SAT \le^P HAM$\\ + Gegeben: \( F(x_1,…,x_n) = c_1\land c_2 \land … \land c_n \)\\ + Konstruiere einen Graph $G$, so dass \( F\in 3-SAT \Leftrightarrow G\in HAM\) + + G: Für jede Variable $x_i$ konstruiere folgenden Teilgraph. + + Soweit hat der Graph $2^n$ ham. Kreise und diese lassen sich je einer Belegung der Variablen von $F$ zuordnen. + + \bsp \( F = (x_1 \lor \overline{x_2} \lor \overline{x_3}) \land (x_2 \lor \overline{x_3}) \) + + \begin{enumerate}[1)] + \item + Sei $F\in 3-SAT$ und $a=(a_1,…,a_n)$ eine erfüllende Belegung für $F$.\\ + Dann hat $G$ einen ham. Kreis:\\ + gehe bei Teilgraph für $x_i$ nach links, falls $a_i = 0$ und nach recht, falls $a_i=1$ ist.\\ + \begin{itemize} + \item Kommt $x_i$ in $C_j$ vor und ist $a_i=1$ und $C_j$ noch nicht besucht worden, dann verzweige zu Klauselknoten $C_j$. + \item kommt $\overline{x_i}$ in $C_j$ vor und ist $a_i = 0$ und $C_j$ noch nicht besucht, dann verzweige zu Knoten für $C_j$. + \end{itemize} + Da $a$ $F$ erfüllt, wird so jeder Klauselknoten erreicht. + \item + Sei $G \in HAM$.\\ + Es gibt nur ham. Kreise wie unter 1) beschrieben und diese entsprechen dann erflüllender Belegung von $F$. + \end{enumerate} + + \( HAM_{ger} \le^P HAM_{unger} \)\\ + Gegeben: $G$ gerichtet.\\ + Konstruiere $G'$ ungerichtet, so dass:\\ + \( G \in HAM_{ger} \Leftrightarrow G' \in HAM_{unger} \) + \begin{enumerate}[1)] + \item Ein ham. Kreis in $G$ liefert direkt einen ham. Kreis in $G'$. + \item Ham. Kreise in $G'$ müssen die Richtun gvon $G$ einhalten (oder komplett in Gegenrichtung). Andernfalls bleibt man stecken, z.\,B. bei $v^1$. + \end{enumerate} \end{document} diff --git a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex index f5ce5d4..afef487 100644 --- a/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex +++ b/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik/Wahrscheinlichkeitstheorie_und_Statistik.tex @@ -927,4 +927,6 @@ % TODO + für $p=0.5$ ist die Verteilung Symmetrisch + \end{document}