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@@ -581,6 +581,12 @@
 	\( P(X=5) = \frac 5 6 * \frac 5 6 = \frac{25}{36} \)\\
 	\( P(X=-B) = 1 - \left( \frac 1 6 + \frac{25}{36} \right) = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \)
 
+	Für welches B ist das Spiel Fair? (\(\mu = 0 \))\\
+	\( B = \frac{ 2 * \frac{1}{6} + 5 * \frac{25}{36} }{\frac{5}{36}} = \) \EUR{27,40}
+
+	\( \sigma^2 = 4 * \frac 1 6 + 25 * \frac{25}{36} + 750.76 * \frac{5}{36} = 122.3 \)\\
+	\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{122.3} = 11.06 \)
+
 	\subsubsection{Diskrete Zufallsvariable}
 
 	Diskret: $X$ nimmt nur einzelne Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten an.
@@ -589,4 +595,86 @@
 	Durchschnittsgewinn \( \mu = 2 * \frac 1 4 + 3 * \frac 1 4 - 2,4 * \frac 1 2 = 0,05 \Rightarrow \) Spiel lohnt sich für uns\\
 	(gewichtet mit Wahrscheinlichkeit – Durchschnittsgewinn pro Spiel)
 
+	Allgemein:\\
+	\begin{mydef}
+		Der \underline{Erwartungswert} (Mittelwert) einer Zufallsvariable $X$, die Werte $x_i$ mit den Werten $p_i$ annimmt \((i=1,2,3,…)\)\\
+		\textcolor{Orange}{(\(\to\) endlich viele oder abzählbar viele Werte \(x_i\)) }\\
+		ist \(\mu = E(X)=\sum\limits_i x_i*p_i \)
+	\end{mydef}
+
+	\underline{Maß für die Streuung (Schwankung)}
+
+	\begin{mydef}
+		Die \underline{Varianz} einer Zufallsvariablen $X$ (wie in der Definition von \(\mu\)) ist \(\sigma^2 = V(X) = Var(X) = \sum\limits_i  {\color{Orange} (x_i-\mu)^2 } * p_i \) \textcolor{Orange}{quadratischen Abstände der Werte $x_i$ von $\mu$}\\
+		\(\to\) mittlerer Quadratischer Abstand
+		
+		Die \underline{Standardabweichung} \(\sigma\) ist \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)
+	\end{mydef}
+
+	Weshalb \underline{quadratische} Abstände?\\
+	z.\,B. kleiner Abstand 2 \(\to\) 2 \textcolor{Orange}{verdoppelt}\\
+			großer Abstand 10 \(\to\) 100 \textcolor{Orange}{verzehnfacht}
+
+	\(\rightarrow\) große Abstände fließen verstärkt ein in die Varianz.\\
+	Kleine Abstände sind oftmals nur Toleranzen, Messfehler, Ungenauigkeiten.
+
+	Anwendung im Finanzbereich:\\
+	z.\,B. \(\mu = \) mittlere Rendite\\
+	\spa \(\sigma = \) Maß für Streuung = Maß für das Risiko
+
+	\underline{Wenn \( \sigma = 0\)} wäre, dann gibt es nur einen Wert $x = \mu$ mit Wahrscheinlichkeit 1.
+
+	Vereinfachung der Formel für \(\sigma^2\):\\
+	\( \sigma^2 = \sum\limits_i (x_i-\mu)^2 * p_i = \sum\limits_i (x_i^2 - 2*x_i*\mu + \mu^2) *p_i = \sum\limits_i x_i^2*p_i - \sum\limits_i 2*x_i*\mu*p_i + \sum\limits_i \mu^2*p_i\)\\
+	\( = \sum\limits_i x_i^2 * p_i - 2\mu * \underbrace{\sum\limits_i x_i*p_i}_{=\mu} + \mu^2 * \underbrace{\sum\limits_i p_i}_{=1} \)\\
+	\( = \sum\limits_i x_i^2 * p_i - 2 \mu^2 + \mu^2 \)\\
+	\textcolor{Red}{\( \sigma^2 = \sum\limits_i x_i^2 * p_i - \mu^2 \) \underline{einfache Formel} für \(\sigma^2\)}
+
+	Im \bsp von oben:
+
+	\(\mu = 0,05\)\\
+	\( \sigma^2 = 4 * \frac 1 4 + 9 * \frac 1 4 + 5,76 * \frac 1 2 - 0,05^2 = 6.1275 \)\\
+	\( \sigma = \sqrt{6.1275} \approx 2.4754 \) \(\to\) Maß für die Streuung, also für die Mittlere Abweichung von \(\mu\).
+
+	Also pro Spiel: im \(\varnothing\): Gewinn von \(\mu = \)\EUR{0,05}.\\
+	aber wir haben eine Streuung um \(\mu\) von \textcolor{Orange}{\EUR{2,47} noch in Relation zu \(\mu \to\) Spiel mit hohem Risiko}
+
+	Man muss \(\sigma\) in Relation zu \(\mu\) sehen.\\
+	\(\to\) Variationskoeffizient \( \frac{\sigma}{\mu} = \frac{2,47}{0,05} = 49,4 = 4940\% \)
+
+	\subsubsection{Verteilung und Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen}
+
+	Im \bsp 2 maliges Würfeln von vorhin:\\
+	\underline{Verteilung von $X$}: \( P(X=2) = \frac 1 6, P(X=5) = \frac{25}{36}, P(X=-27.4) = \frac{5}{36} \)
+
+	\begin{mydef}
+		Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable $X$.\\
+		\(\to\) Funktion \(F: \mathbb R \to [0,1] \) mit \(F(x) = P(X\le x) \) \textcolor{Orange}{bei der Verteilung \(P(X=x)\)}
+	\end{mydef}
+
+	\( F(-27.4) = P(X\le -27.4) = \frac{5}{36} \)\\
+	\( F(2) = P(X\le 2) = P(X=-27.4) + P(X=2) = \frac{5}{36}+\frac{1}{6} = \frac{11}{36} \)\\
+
+	Bei einer diskreten Verteilung ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion, die von 0 nach 1 Wächst und an den Stellen $x_i$ treten Sprünge auf, mit Sprunghöhe $p_i$
+
+	Allgemein (nicht nur für diskrete Verteilungen) hat eine \underline{Verteilungsfunktion} \(F(x)\) die \underline{Eigenschaften}:
+	\begin{itemize}
+		\item
+			\( \lim\limits_{x\to -\infty} F(x) = 0 \) und \( \lim\limits_{x\to \infty} F(x) = 1 \)
+		\item
+			\( F(x) \) ist monoton wachsend \textcolor{Orange}{nicht unbedingt \underline{streng} wachsend}
+		\item
+			\(F(x)\) ist rechtsseitig stetig \textcolor{Orange}{\(\to\) aus der Def.: \(F(x) = P(X{\color{Red}\le}c) \) }
+	\end{itemize}
+
+	\bsp $X$: Anzahl an Wappen bei 2maligem Münzwurf. Skizziere die Verteilungsfunktion \(F(x)\)
+
+	\( F(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac 1 4, & 0\le x < 1 \\ \frac 3 4, & 1 \le x < 2 \\ 1, & 2\le x \end{cases} \)
+
+	\bsp \( F(x) = \begin{cases} a, & x < 0 \\ b*x+0.75, & 0 \le x < 1 \\ c, & x \ge 1 \end{cases} \)
+	
+	Für welche \(a,b,c \in \mathbb R\) ist \(R(x)\) eine Verteilungsfunktion?
+
+	\(a = 0, 0\le x \le 2.25, c=1 \)
+
 \end{document}