diff --git a/Algorithmen/Algorithmen.tex b/Algorithmen/Algorithmen.tex
index 102269c..f6c787a 100644
--- a/Algorithmen/Algorithmen.tex
+++ b/Algorithmen/Algorithmen.tex
@@ -19,9 +19,22 @@
pdfkeywords={Algorithmen},
pdfborder={0 0 0}
]{hyperref}
+\usepackage{framed}
+\newcommand*{\leftbarcolorcmd}{\color{leftbarcolor}}% as a command to be more flexible
+\renewenvironment{leftbar}{%
+ \def\FrameCommand{{\leftbarcolorcmd{\vrule width \leftbarwidth\relax\hspace {\leftbarsep}}}}%
+ \MakeFramed {\advance \hsize -\width \FrameRestore }%
+}{%
+ \endMakeFramed
+}
+\newenvironment{mydef}
+ {\begin{leftbar}}
+ {\end{leftbar}}
+%
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
+\usepackage{xcolor}
+%\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\parindent}{0ex}
@@ -34,12 +47,11 @@
\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.25,.75,0.25}
\definecolor{lightblue}{rgb}{0.25,0.25,0.75}
-\renewenvironment{leftbar}[1]{%
- \def\FrameCommand{{{\vrule width #1\relax\hspace {8pt}}}}%
- \MakeFramed {\advance \hsize -\width \FrameRestore }%
-}{%
- \endMakeFramed%
-}
+\newlength{\leftbarwidth}
+\setlength{\leftbarwidth}{3pt}
+\newlength{\leftbarsep}
+\setlength{\leftbarsep}{10pt}
+\colorlet{leftbarcolor}{gray}
\usepackage{listings}
\lstdefinelanguage{pseudo}{
diff --git a/Algorithmen/flussnetzwerke.tex b/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
index 7b4549d..ca267f8 100644
--- a/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
+++ b/Algorithmen/flussnetzwerke.tex
@@ -28,5 +28,42 @@ dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)
Gegeben: \( G=(V,E), \ s,t \in V, c \)\\
Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.
+Ist \((u,v) \not\in E\) und \((v,u) \not\in E\), dann ist \( c(u,v) = c(v,u) = 0 \).\\
+Für \(f\) muss also gelten:
+\begin{itemize}
+ \item \( f(u,v) \le 0 \) und \( f(v,u) \le 0 \)
+ \item \( f(u,v) = -f(v,u) \Rightarrow f(u,v) = f(v,u) = 0 \)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Restnetzwerk}
+
+Sei $f$ ein Fluss in $G$. Die \underline{Restkapazität der Kante \((u,v)\)} ist \( c_f(u,v) = c(u,v) - f(u,v) \). Das \underline{Restnetzwerk von $G$ bzgl. $f$} ist \( G_f = (V,E_f) \) mit \( E_f = \{ (u,v) \in V\times V \mid c_f(u,v) > 0 \}\).
+
+\bsp\\
+\includegraphics{img/restnetzwerk.pdf}
+
+Sei $p$ Weg von $s$ nach $t$ in $G_f$ die \underline{Restkapazität von $p$ in $G_f$}\\
+\( c_f(p) = min \{ c_f(u,v) \mid (u,v) \in p \} \)\\
+Im \bsp \( c_f(p) = 4 \)
+
+\begin{mydef}
+ Definiere \(f_p\):\\
+ \begin{math}
+ f_p(u,v) = \begin{cases}
+ c_f(p) &,\text{ falls } (u,v) \in p\\
+ -c_f(p) &,\text{ falls } (v,u) \in p\\
+ 0 &,\text{ sonst}
+ \end{cases}
+ \end{math}
+\end{mydef}
+
+\(f_p\) ist Fluss:
+\begin{enumerate}
+ \item Kapazitätsbedingung:\\
+ Für \( (u,v) \in p \) ist \(f_p(u,v) = c_f(p) \le c_f(u,v) \) nach Definition von \(c_f(p) \)
+ \item Symmetrie gilt nach Definition
+ \item Kirchhoffsches Gestz: Sei $u$ Knoten auf $p$\\
+ \includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}
+\end{enumerate}
% vim: ft=tex :
diff --git a/Algorithmen/img/flussnetzwerk.xml b/Algorithmen/img/flussnetzwerk.xml
index 4e5e225..bcf4b67 100644
--- a/Algorithmen/img/flussnetzwerk.xml
+++ b/Algorithmen/img/flussnetzwerk.xml
@@ -1,7 +1,7 @@
-
+
@@ -292,5 +292,6 @@ h
t
u
v
+$G$
diff --git a/Algorithmen/img/restnetzwerk.xml b/Algorithmen/img/restnetzwerk.xml
index 5db20c8..6dd9ae2 100644
--- a/Algorithmen/img/restnetzwerk.xml
+++ b/Algorithmen/img/restnetzwerk.xml
@@ -1,7 +1,7 @@
-
+
@@ -246,11 +246,11 @@ h
64 712 m
54.6829 0 0 -54.6829 118.667 713.333 120 768 a
-
+
64 696 m
54.6829 0 0 54.6829 118.667 694.667 120 640 a
-
+
216 768 m
54.6829 0 0 -54.6829 217.333 713.333 272 712 a
@@ -290,7 +290,7 @@ h
228 760 m
140 652 l
-
+
144 648 m
232 756 l
@@ -302,5 +302,21 @@ h
232 636 m
136 636 l
+5
+11
+8
+5
+12
+5
+3
+11
+4
+7
+3
+11
+4
+5
+15
+$G_f$
diff --git a/Algorithmen/img/restnetzwerk_p.xml b/Algorithmen/img/restnetzwerk_p.xml
new file mode 100644
index 0000000..d593217
--- /dev/null
+++ b/Algorithmen/img/restnetzwerk_p.xml
@@ -0,0 +1,266 @@
+
+
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+
+
+
+
+
+0.5 0 0 0.5 0 0 e
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+
+
+
+
+
+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
+h
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+
+
+-0.43 -0.57 m
+0.57 0.43 l
+0.43 0.57 l
+-0.57 -0.43 l
+h
+
+
+-0.43 0.57 m
+0.57 -0.43 l
+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
+h
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+-1 0.333 m
+0 0 l
+-1 -0.333 l
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+$p$
+$v$
+$u$
+$w$
+
+48 752 m
+52 756
+56 748
+60 756
+64 748
+68 752
+76 752 s
+
+
+84 752 m
+108 752 l
+
+
+116 752 m
+140 752 l
+
+
+48 752 m
+52 756
+56 748
+60 756
+64 748
+68 752
+76 752 s
+
+
+