Berechenbarkeits-KomplexTh vollst.

Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex

@@ -1624,4 +1624,94 @@
 			               &= \frac32 d(C^*)
 	\end{align*}
 
+	\(\triangle\)TSP\\
+	TSP ohne $\triangle$-Ungleichung:\\
+	\includegraphics{bilder/tsp_dreieck_2.eps}\\
+	\satz Sei $ c > o $ beliebig.\\
+	$P \ne NP \Rightarrow $ es gibt keine $c$-Approximation für TSP.
+
+	\bew Betrachte folgende Reduktion von $HAM \le^P TSP$.\\
+	Sei $G = (V,E)$ ein Graph mit $|V| = n$.\\
+	Konstruiere Eingabe für TSP mit $n$ Städte und Abständen $d$:\\
+	\[ d(i,j) = \begin{cases}1,& \text{falls } (i,j) \in E \\ c * n, & \text{sonst} \end{cases} \]
+	\includegraphics{bilder/tsp_graph.eps}
+
+	Dann gilt:
+	\begin{enumerate}
+		\item $G \in HAM \Rightarrow L^* = $ optimale Länge einer Rundreise $ = n$
+		\item $G \not\in HAM \Rightarrow L^* \ge n-1 + c* n > c * n$
+	\end{enumerate}
+
+	Zeige: Wenn es einen Algorithmus $A$ gibt, eine $c$-Approximation an TSP, dann ist $HAM \in P$ und folglich ist dann $P = NP$.
+
+	$A$ ist $c$-Approximation, d.\,h. sei L die Länge der TSP-Tour, die $A(n,d)$ berechnet, dann gilt: $L\le c * L^* $
+
+	Sei $G=(V,E)$ Eingabe für $HAM$. Reduziere $G$ wie oben zu $(n,d)$. Sei $L =$ Länge von $ A(n,d)$.
+
+	Dann gilt:
+	\begin{enumerate}
+		\item $G\in HAM \Rightarrow L^* = n \Rightarrow L \le c * n $
+		\item $G\not\in HAM \Rightarrow L^* > c*n \Rightarrow L > c * n $
+	\end{enumerate}
+
+	D.\,h. $G \in HAM \Leftrightarrow L \le c*n$\\
+	$\Rightarrow HAM \in P$
+
+	\bsp Vertex Cover\\
+	$P\ne NP \Rightarrow $ es gibt keine $c$-Approximation für $c<\frac{16}{15}$
+
+	\subsection{Subset Sum}
+
+	Für Subset Sum git es eine Approximation, die auf Eingabe $(a_1,…,a_n,b,\epsilon), \epsilon > 0$ eine $(1+\epsilon)$-Approximation liefert.\\
+	\includegraphics{bilder/subset_sum_opt.eps}
+
+	Optimierungsversion: $I\le \{ 1,…,n\}$ sodass $ \sum\limits_{i\in I} a_i$ maximal und $\le b$
+
+	\section{PSPACE}
+
+	$P \subseteq NP \subseteq \underline{\underline{PSPACE}} \le EXP$\\
+
+	\subsection{True Quantified Boolean Formular (TQBF)}
+
+	$ \forall x \exists y (x \land \exists z (y \land z))$
+
+	Voll quantifizierte Formeln sind wahr oder falsch.
+
+	$F(x_1,…,x_n) \in SAT $\\
+	$\Leftrightarrow \exists x_1 \exists x_2 … \exists x_n F(x_1,…,x_n) \in TQBF$
+
+	$TQBF \in PSPACE$
+
+	\includegraphics{bilder/pspace_tqbf.eps}
+
+	Stelle Formel als Schaltkreis dar und werte mittels Tiefensuche aus. Es gilt: $TQBF$ ist $PSPACE$-vollständig.\\
+	Jede $QBF$-Formel lässt sich äquivalent umschreiben in $Q_1x_1Q_2x_2…Q_nx_n F(x_1,…,x_n)$ mit $Q_1 = \exists, Q_2 = \forall, …$ alternierend und $F$ in $3-KNF$ ist. (quantorenfrei)
+
+	\underline{Geographie}
+
+	Gegeben: Graph $G$, gerichtet.\\
+	Knoten $S$ (Startknoten).\\
+	Zwei Spieler ziehen Abwechselnd.\\
+	Spieler I started in $S$ und zieht zu einem Nachbar von $S$. Dann zieht Spieler II, …\\
+	Dann immer abwechselnd.\\
+	Kein Knoten darf mehrfach besucht werden. Es verliert der Spieler, der nicht mehr Ziehen kann.\\
+	$\textsc{Geo} = \{ (G,s) \mid $ es gibt eine Gewinnstrategie für Spieler I  $\}$
+
+	$ TQBF \le^P \textsc{Geo}: F = \exists x_1 \forall x_2 … Q_nx_n (C_1 \land C_2 \land … \land C_m)$
+
+	Konstruiere $G,s$:
+
+	\includegraphics{bilder/tqbf_geo.eps}
+
+	\textsc{Geo} ist $PSPACE$-Vollständig
+
+	Ebenso:
+	\begin{itemize}
+		\item $NFA$-Äquivalenz
+		\item Reguläre Ausdrücke-Äquivalenz
+	\end{itemize}
+
+	$P\subseteq NP \subseteq PSPACE \subseteq EXP$\\
+	Es ist $P \ne EXP$
+
 \end{document}