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Bis Ford-Fulkerson-Methode

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Thomas Ba. 13 years ago
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42
Algorithmen/Algorithmen.tex
Unescape View File

@ -39,8 +39,8 @@
\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\parindent}{0ex}
\setlength{\parskip}{2ex}
\setcounter{secnumdepth}{4}
\setcounter{tocdepth}{4}
% Farben
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.5}
\definecolor{greenblue}{rgb}{0,0.5,0.5}
@ -53,40 +53,8 @@
\setlength{\leftbarsep}{10pt}
\colorlet{leftbarcolor}{gray}
\usepackage{pseudocode}
\usepackage{listings}
\lstdefinelanguage{pseudo}{
morekeywords=
{
if, else, for, in, remove, from, case, do, forever, to,
false, true, then, foreach, while, modulo, foreach
},
sensitive=true,
morecomment=[l]\#,
morestring=[b]',
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
literate={<=} {$\le$}{2} {!=} {$\neq$}{2} {=} {$\leftarrow$}{2} {==} {=}{2}
{&&} {$\cap$}{2} {||} {$\cup$}{2} {lfloor} {$\lfloor$}{1}
{rfloor} {$\rfloor$}{1} {cdot} {$\cdot$}{1}
}
\lstset{
language=pseudo,
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
keywordstyle=\color{red},
commentstyle=\color{blue},
stringstyle=\color{darkgreen},
backgroundcolor=\color{lightgray},
morecomment=[s][\color{blue}]{/*}{*/},
emphstyle=\textbf,
frame=single,
showstringspaces=true,
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numberstyle=\footnotesize\textcolor{gray},
numbers=left,
tabsize=4,
captionpos=b
}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}
\pagestyle{fancy}
@ -101,6 +69,7 @@
\fancyfoot[C]{Seite \thepage\ von \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} %untere Trennlinie
% Eigene Befehle
\newcommand{\spa}{\hspace*{4mm}}
\newcommand{\defin}{\textcolor{darkgreen}{\textbf{Def.: }}}
\newcommand{\satz}{\textcolor{darkblue}{\textbf{Satz: }}}
@ -118,6 +87,7 @@
\maketitle\thispagestyle{empty}
\tableofcontents\thispagestyle{empty}
\listofalgorithms\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagestyle{fancy}

78
Algorithmen/flussnetzwerke.tex
Unescape View File

@ -19,14 +19,14 @@ Ein \underline{Fluss (im Netzwerk)} ist eine Funktion \( f: V\times V \to \mathb
\subsection{Wert des Flusses}
Der Wert des Flusses $f$ ist \( \|f\| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
Der Wert des Flusses $f$ ist \( |f| = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) \)\\
Kurzschreibweise sei \(X,Y \subseteq V\)\\
dann Def. \( f(X,Y) = \sum\limits_{x\in X} \sum\limits_{y\in Y} f(x,y) \)
\underline{Maximaler Fluss} berechnen:
Gegeben: \( G=(V,E), \ s,t \in V, c \)\\
Gesucht: Fluss $f$, so dass \(\|f\|\) maximal ist.
Gesucht: Fluss $f$, so dass \(|f|\) maximal ist.
Ist \((u,v) \not\in E\) und \((v,u) \not\in E\), dann ist \( c(u,v) = c(v,u) = 0 \).\\
Für \(f\) muss also gelten:
@ -64,64 +64,74 @@ Im \bsp \( c_f(p) = 4 \)
\item Symmetrie gilt nach Definition
\item Kirchhoffsches Gestz: Sei $u$ Knoten auf $p$\\
\includegraphics{img/restnetzwerk_p.pdf}\\
\begin{align}
\begin{align*}
\sum\limits_{v\in V} f(u,v) &= f(v,u) + f(u,v) + f(u,w) + f(w,u)\\ % TODO: Underbrace c_f(...)
&= 0
\end{align}\\
\end{align*}\\
\end{enumerate}
Wert \(\|f_p\| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
Wert \(|f_p| = c_f(p) \) (Im \bsp \(=4\))
\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(\|f+f'\| = \|f\| + \|f'\|\).
\lemma Sei $f$ Fluss in $G$ und $f'$ Fluss in $G_f$. Dann ist \( f + f' \) ein Fluss in $G$ und der Wert \(|f+f'| = |f| + |f'|\).
\bew
\begin{enumerate}
\item \underline{Symmetrie}
\begin{align}
\begin{align*}
(f+f')(u,v) &= f(u,v) + f'(u,v)\\
&= -f(v,u) - f'(v,u)\\
&= -\left( (f+f')(v,u) \right)
\end{align}
\end{align*}
\item \underline{Kapazität}
\begin{align}
\begin{align*}
(f+f')(u,v) &= f(u,v) + \underbrace{f'(u,v)}_{ \le c_f(u,v) = c(u,v)-f(u,v) }\\
&\le f(u,v) + c(u,v) - f(u,v)\\
&= c(u,v)
\end{align}
\end{align*}
\item \underline{Kirchhoff}:
\begin{align}
\begin{align*}
\sum\limits_{v\in V} (f+f')(u,v) &= \sum\limits_{v\in V} \left(f(u,v) + f'(u,v)\right)\\
&= \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v)\\
&= 0 + 0 = 0
\end{align}
\end{align*}
\end{enumerate}
\begin{align}
\text{Wert:} \|f+f'\| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
\begin{align*}
\text{Wert:} |f+f'| &= \sum\limits_{v\in V} (f+f')(s,v)\\
&= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v)\\
&= \|f\| + \|f'\|
\end{align}
&= |f| + |f'|
\end{align*}
\newpage
\subsection{Ford-Fulkerson-Methode}
\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson-Methode}{G,s,t,c}
f \GETS 0\\
\WHILE \text{es gibt einen Erweiterungspfad }p\text{ in }G_p
\DO \text{erhöhe den Fluss um }f_p\\
\RETURN f
\end{pseudocode}
\begin{algorithm}
\caption{\textsc{Ford-Fulkerson-Methode} $(G,s,t,c)$}
\begin{algorithmic}[1]
\State \(f \leftarrow 0\)
\While{es gibt einen Erweiterungspfad $p$ in $G_p$}
\State erhöhe den Fluss um $f_p$
\EndWhile\\
\Return{f}
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
Genauer:
\begin{pseudocode}[framebox]{Ford-Fulkerson}{G,s,t,c}
\FOREACH (u,v) \in E
\DO \BEGIN
f(u,v) \GETS 0\\
f(v,u) \GETS 0
\END
\WHILE \text{Es gibt einen Weg } p \text{ von } s \text{ nach } t \text{ in } G_f
\DO\BEGIN
% TODO
\END
\end{pseudocode}
\begin{algorithm}
\caption{\textsc{Ford-Fulkerson} $(G,s,t,c)$}
\begin{algorithmic}[1]
\ForAll{\((u,v) \in E\)}
\State \(f(u,v) \leftarrow 0\)
\State \(f(v,u) \leftarrow 0\)
\EndFor
\While{Es gibt einen Weg \(p\) von \(s\) nach \(t\) in \(G_f\)}
\State \(G_f(P) \leftarrow min\{ c_f(u,v) \mid (u,v) \in P \} \)
\ForAll{\((u,v) \in P\)}
\State \(f(u,v) \leftarrow f(u,v) + c_f(P) \)
\State \(f(v,u) \leftarrow -f(u,v) \)
\EndFor
\EndWhile
\end{algorithmic}
\end{algorithm}
% vim: ft=tex :

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