diff --git a/Mathematik_Vorkurs/Mathematik_Vorkurs.tex b/Mathematik_Vorkurs/Mathematik_Vorkurs.tex new file mode 100644 index 0000000..fdf7b3a --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/Mathematik_Vorkurs.tex @@ -0,0 +1,1541 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage[utf8]{inputenc} +%\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[ngerman]{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{multicol} +\usepackage{booktabs} +\usepackage[paper=a4paper,left=30mm,right=20mm,top=20mm,bottom =25mm]{geometry} +\usepackage[ + pdftitle={Mathevorkurs für Informatik}, + pdfsubject={Mitschrift des Mathematikvorkurses}, + pdfauthor={Thomas Battermann}, + pdfkeywords={Mathevorkurs für Informatik}, + pdfborder={0 0 0} + ]{hyperref} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{graphicx} +\setlength{\parindent}{0ex} +\setlength{\parskip}{2ex} + +\title{Mathevorkurs für Informatik} +\author{Mitschrift von Thomas Battermann} +\date{21. - 30. September 2010} +\begin{document} + +\maketitle +\tableofcontents + +\newpage + +%%% 21. September %%% + +\section{Einleitung} + +\textbf{Modelieren}\\ +\hspace*{5mm} von Aufgabenstellungen/Problemen\\ +\textbf{Spezifizieren}\\ +\hspace*{5mm} Was soll/muss das Programm können\\ +\textbf{Verifizieren}\\ +\hspace*{5mm} Zeigen, das ein Programm/Algorithmus bestimmte Eigenschaften erfüllt.\\ + +\noindent\underline{Zum Lernen:}\\ +\begin{itemize} + \item Mathematik ist Übungssache + \item In Vorlesungen wird wenig geübt\\ + \(\Rightarrow\) Selbst üben + \item Prüfungen gleich nach Vorlesungsende\\ + \(\Rightarrow\) regelmäßig üben! Vorlesungsbegleitend\\ + Etwa 1h pro Vorlesungsstunde + \item Arbeitsmöglichkeit schaffen + \item In der Mathematik:\\ + Aussagen werden bewiesen +\end{itemize} + +\section{Natürliche Zahlen} + +\hspace*{5mm}\(0,1,2,3,4,...\)\\ +\hspace*{5mm}dienen zum Zählen\\ + +\subsection{Axiome} + +\begin{enumerate} + \item 0 ist eine natürliche Zahl + \item Jede natürliche Zahl hat einen eindeutigen Nachfolger: \(s_{(n)}\) ist nachfolger\\ + \(0, s_{(0)}, s_{(s_{(0)})}, s_{(s_{(s_{(0)})})}, ...\) + \item 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl\\ + \begin{multicols}{2} + \( \forall n \in \mathbb N\) + \columnbreak\\ + \(s_{(n)} \ne 0\) + \end{multicols} + \item Ist der Nachfolger von \(n\) gleich dem Nachfolger von \(m\), dann gilt \(n = m\)\\ + \begin{multicols}{2} + \( \forall n,m \in \mathbb N\) + \columnbreak\\ + \(s_{(n)} = s_{(m)} \Rightarrow m = n\) + \end{multicols} + \item Induktionsprinzip:\\ + Ist \(M\) eine Menge von natürlichen Zahlen und gilt folgendes: + \begin{itemize} + \item[-] \(0 \in M \) + \item[-] Falls \(n \in M\) ist auch \( s_{(n)} \in M \)\\ + (für jedes \(n\)) + \end{itemize} + Dann ist \( M \in \mathbb N\) +\end{enumerate} + +\underline{Satz:} Es gibt keine größte natürliche Zahl\\ +\underline{Def.:}Eine Zahl ist am größten, wenn sie keinen Nachfolger hat\\ +\underline{Beweis:} Folgt direkt Axiom 2 + +\section{Addieren, Multiplizieren, Potenzieren} + +\underline{Def.:} \( a + b = `a + 1 + 1 + ... + 1' = s_{(s_{(...s_{(0)}...)})} \)\\ +Genauer, rekursive Definition: +\begin{multicols}{2} + \( a + 0 = a\)\\ + \(a + s_{(n)} = s_{(a+n)} \) + \columnbreak\\ + Basisfall\\ + Rekursionsfall +\end{multicols} + +\underline{Bsp.:}\\ +\begin{tabular}{rcl} + \( s_{(0)} + s_{(s_{(0)})} \) & \( = \) & \( s_{(s_{(0)} + s_{(0)} )} \)\\ + & \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} +0 )} )} \)\\ + & \( = \) & \( s_{( s_{( s_{( 0 )} )} )} \) +\end{tabular} + + +\subsection{Rekursive Definitionen} + +\underline{Bsp.:}\\ +\begin{multicols}{2} + \( f_{(0)} = 0 \)\\ + \( f_{(n+1)} = f_{(n)} + f_{(n)} \) + \columnbreak\\ + \\ + für \( n \ge 0\) +\end{multicols} + +\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c} + \( n \) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ...\\ + \hline + \( f_{(n)} \) & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & ...\\ +\end{tabular} +\vspace*{4mm}\\ +\(f_{(1)} = f_{(0+1)} = f_{(0)} + f_{(0)} = 1 + 1 = 2 \)\\ +\(f_{(2)} = f_{(1+1)} = f_{(1)} + f_{(1)} = 2 + 2 = 4 \)\\ +\(f_{(3)} = f_{(2+1)} = f_{(2)} + f_{(2)} = 4 + 4 = 8 \)\\ +\(f_{(4)} = f_{(3+1)} = f_{(3)} + f_{(3)} = 8 + 8 = 16 \)\\ +\(f_{(5)} = f_{(4+1)} = f_{(4)} + f_{(4)} = 16 + 16 = 32 \)\\ + +\begin{tabular}{|c|} + \hline + Geschlossene Form\\ + \(f_{(n)} = 2^n \)\\ + \hline +\end{tabular} + +\subsection{Rechengesetze für + und -} + +Folgen aus Definition und Axiomen + +\begin{multicols}{2} + \( a+b=b+a\)\\ + \( a+(b+c) = (a+b)+c\)\\ + \(a \cdot b = b \cdot a\)\\ + \(a \cdot ( b \cdot c ) = (a \cdot b) \cdot c\)\\ + \(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)\\ + \(0+a=a\) und \(1 \cdot a = a\) + \columnbreak\\ + Kommutativgesetz der Addition\\ + Assoziativgesetz der Addition\\ + Kommutativgesetz der Multiplikation\\ + Assoziativgesetz der Multiplikation\\ + Distributivgesetz\\ + Neutrale Elemente +\end{multicols} + +\subsection{Def.: Multiplikation} + +\(a \cdot b = 0 + b + ... +b\)\\ +\\ +Rekursiv:\\ +\( 0 \cdot b = 0 \)\\ +\( s_{(n)} \cdot b = ( n + 1 ) \cdot b = b + n \cdot b \)\\ + +\subsection{Potenzieren} + +\(a^b = a \cdot ... \cdot a\) \\ + +\textbf{Rekursive Definition} + +\(a^1 = a\)\\ +\(a^{n+1} = a \cdot a^n\) + +\section{Rechengesetze} + +\(a+b=b+a\) + +Die beiden Ausdrücke liefern den selben Wert, egal welche Zahlen für \(a\) ound \(b\) eingesetzt werden. + +Anwendung der Rechengsetze zur Manipulation von Arithmetischen Ausdrücken\\ +\begin{tabular}{rcl} + \(2 \cdot (( a+b)+c)\) & \(=\) & \(2 \cdot (a+(b+c)) \)\\ + & \(=\) & \( 2 \cdot (a+(c+b)) \)\\ + & \(=\) & \( 2 \cdot ((a+c)+b) \) \\ + & \(=\) & \( 2 \cdot ((c+a)+b) \) \\ + & \(=\) & \( 2 \cdot (c+a) + 2 \cdot b\)) \\ + & \(=\) & \( 2 \cdot c + 2 \cdot a + 2 \cdot b\)\\ +\end{tabular} + +\textbf{Abgeleitete Gesetze:}\\ +\begin{tabular}{rcl} + \( (a+b)^2\) & \(=\) & \( (a+b) \cdot (a+b)\) \\ + & \(=\) & \( a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) \)\\ + & \(=\) & \(a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2\)\\ + & \(=\) & \(a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\)\\ +\end{tabular} + +\section{Arithmetische Ausdrücke} + +\underline{Def.:}\\ +\textbf{Basisfall:} +\begin{itemize} + \item Jede Variable ist ein arithmetischer Ausdruck (Bsp.: \(a,b,c,x,y,z,a_1,a_2,a_3,...\)) + \item Jede Zahl ist ein Arithmetischer Ausdruck +\end{itemize} +\textbf{Rekursionsfall:}\\ +Sind \(x\) und \(y\) arithmetische Ausdrücke, dann auch +\begin{itemize} + \item \((x+y)\) + \item \((x \cdot y)\) + \item \((x^y)\) +\end{itemize} + +\underline{Bsp.:}\\ +\( (( a+2) \cdot c ) \)\\ +\begin{multicols}{2} + \begin{tabular}{rl} + \(x=\) & \(a\) \\ + \(y=\) & \(2\) + \end{tabular} + \columnbreak\\ + A.A. (Basisfall)\\ + A.A. (Basisfall) +\end{multicols} +\(\Rightarrow \quad (x+y) = (a+2) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\ +\begin{multicols}{2} + \begin{tabular}{rl} + \(x=\) & \(a+2\) \\ + \(y=\) & \(c\) + \end{tabular} + \columnbreak\\ + \\ + A.A. (Basisfall) +\end{multicols} +\(\Rightarrow \quad (x+y) = ((a+2) \cdot c) \quad \) ist A.A. (Rekursion)\\ + +Mit der (Potenzieren-vor-) Punkt-vor-Strich-Regel kann man Klammern einsparen\\ +\underline{Bsp.:}\\ +\(2 \cdot 5 + 2 \cdot 3^2 \)\\ +steht für: \( (2 \cdot 5) + (2 \cdot (3^2)) = 28 \)\\ +\( \neq 2 \cdot ( 5 + ( 2 \cdot (3^2))) = 46\)\\ +\\ +\((2 \cdot (3+5)) \cdot 7 = 112 \)\\ +\(2 \cdot ((3+5) \cdot 7) = 112 \)\\ +\(2 \cdot (3+5) \cdot 7 = 112 \)\\ + +Das AG für \(+\) und \( \cdot \) erlaubt, dass Klammern bei gleichrangigen Operationen weggelassen werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.\\ + +Variablen in Arithmetischen Ausdrücken sind Platzhalter von Zahlen.\\ + +%%% 22. September 2010 %%% + +\section{Distributivgesetz "`rückwärts"'} + +\subsection{Ausklammern} + +\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c )\) + +\subsection{Vieta} + +\(( a + a_1 ) \cdot ( a + a_2 ) = a^2 + ( a_1 + a_2 ) \cdot a + a_1 \cdot a_2 \) + +\section{Rechengesetze fürs Potenzieren} + +\begin{multicols}{2} + \begin{itemize} + \item[(I)] \(a^0 = 1\) + \item[(II)] \(a^{n+1} = a \cdot a^n\) + \item[(III)] \(a^n \cdot a^m = a^{n \cdot m}\) + \item[(IV)] \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\) + \item[(V)] \( (a^n)^m = a^{n \cdot m}\) + \end{itemize} +\columnbreak + \begin{itemize} + \item[] (evtl. \(a = 0\) ausschließen) + \item[] (Spezialfall von (III), \(m = 1\)) + \item[] gleiche Basis + \item[] gleicher Exponent + \item[] + \end{itemize} +\end{multicols} + +\section{Primzahlen} + +Eine Zahl \(c\) mit +\begin{multicols}{2} + \(c = a \cdot b\) + \columnbreak\\ + (für \(a,b \in \mathbb N\)) +\end{multicols} +heißt vielfaches von a und b heißt Teiler von c (\(c = a \cdot b\) bedeutet \(c\) kann als Rechteck mit Seitenlängen \(a\) und \(b\) gelegt werden)\\ +\\ +\underline{Bsp.:} \(6 = 2 \cdot 3\)\\ +\begin{tabular}{|c|c|c|} + \hline&&\\ + \hline&&\\ + \hline +\end{tabular} +\\ +\\ +Eine Primzahl ist eine Zahl \(p >= 2\), falls für alle \(a,b \in \mathbb N\) mit \(a \cdot b = p\) gilt \(a=1\) oder \(b = 1\)\\ +(Primzahlen können nur als `triviale' Rechtecke gelegt werden, d.\,h. eine Zeile oder eine Spalte) + +Primzahlen sind `Atome' bei der Zerlegung in Faktoren.\\ +Jede Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.\\ +\(\Rightarrow\) Primfaktorzerlegung\\ +\underline{Bsp.:} \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3\) + +\section{Summenschreibweise} + +Sind \(a_1,...,a_n\) arithmetische Ausdrücke, dann schreibt man für \(a_1 + ... + a_n\) auch kurz: +\begin{multicols}{2} + \( \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \) + \columnbreak\\ + (Summe von \(i=1\) bis \(n\) \hspace*{4mm} \(a_i\)) +\end{multicols} + +\underline{Bsp.:}\\ +\( \sum\limits_{i=1}^{5} 3 = 3+3+3+3+3 = 5 \cdot 3 = 15 \)\\ +\( \sum\limits_{i=1}^{5} i = 1+2+3+4+5 = 15 \) + +\subsection{Rekursive Definition} + +\( \sum\limits_{i=1}^{0} a_i = 0 \)\\ +\( \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = ( \sum\limits_{i=1}^{n} ai ) + a_{n+1} \) + +%%% 23.09.2010 %%% + +\section{Ganze Zahlen} + +\hspace{4mm} \(x + 1000 = 0\)\\[2mm] +Diese Gleichung hat keine Lösung. Bzw.\\[2mm] +\hspace*{4mm} \(x + n = 0\)\\[2mm] +hat keine Lösung für \(n \in \mathbb N , n \ne 0\)\\[4mm] + +\begin{tabular}{ll} + \(\rightsquigarrow\) & Neue Zahlen \hspace{4mm} \(-n\) für \(n \in \mathbb N\)\\ + & mit\\ + & \hspace{4mm} \(-n + n = 0\)\\ + \(\Rightarrow\) & \(-0 = 0\)\\ + \(\rightsquigarrow\) & Ganze Zahlen\\ + & \hspace{4mm}\(\mathbb Z = \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)\\ +\end{tabular} + +Alle Rechengesetze gelten weiterhin! + +\subsubsection{Neues Rechengesetz:} +\begin{multicols}{2} + \begin{tabular}{|c|} + \hline + \( (-a) + a = 0 \)\\ + \hline + \end{tabular} + \columnbreak\\ + Inverses für Addition +\end{multicols} + +Was ist \(-(-a))\)?\\ + +\begin{tabular}{rclcl} + \(-(-a))\) & \(=\) & \(-(-a) + 0\) & \hspace{1cm} & (Neutrales Element +)\\ + & \(=\) & \( -(-a) + ((-a) + a) \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\ + & \(=\) & \( (-(-a) + (-a) ) +a \) & \hspace{1cm} & (AG+)\\ + & \(=\) & \( 0 + a \) & \hspace{1cm} & (Inverses +)\\ + & \(=\) & \(a\) & \hspace{1cm} & +\end{tabular} + +\begin{multicols}{2} + \(-(-a) = a \) + \columnbreak\\ + (Abgeleitetes Rechengesetz) +\end{multicols} + + + +Was ist \( a \cdot (-1) = (-1) \cdot a\) ?\\ + +\begin{tabular}{rclcl} + \( a \cdot (-1)\) & \(=\) & \( a \cdot (-1) + ( a + (-a)) \) & \hspace{1cm} & (NE+, I+)\\ + & \(=\) & \( (a \cdot (-1) + a) +(-a) \) & \hspace{1cm} & (AG+, NE\(\cdot\))\\ + & \(=\) & \( a \cdot (-1+1)+(-a) \) & \hspace{1cm} & (DG)\\ + & \(=\) & \( a \cdot 0 + (-a) \) & \hspace{1cm} & (I+)\\ + & \(=\) & \(0 + (-a)\) & \hspace{1cm} & \\ + & \(=\) & \(-a\) & \hspace{1cm} & +\end{tabular} + +\begin{tabular}{|c|} + \hline + \(a \cdot (-1) = -a\)\\ + \hline +\end{tabular} + +\begin{itemize} + \item[\textbf{Regel:}] \( + \cdot +\) ist \(+\) + \item[] \( + \cdot -\) ist \(-\) + \item[] \( - \cdot -\) ist \(+\) +\end{itemize} + +\begin{tabular}{rcl} + \((-1) \cdot (-1)\) & \(=\) & \( -(-1)\)\\ + &\(=\) & \(1\) +\end{tabular} + +\subsection{Neue Operation: Subtraktion} + +\hspace{4mm} \(a-b = a + (-b)\) + +AG gilt nicht bei \(-\) + +\begin{tabular}{rcl} + \( (1-2)-3 \) & \(=\) & \( -4\)\\ + \( 1-(2-3) \) & \(=\) & \( 1-(-1) = 2 \)\\ + \(1-2-3\) & \( = \) & \( (1-2)-3 \) +\end{tabular} + +Bei Ausdrücken ist ohne Klammern:\\ +\hspace{3mm}Default ist Linksseitige Klammerung (Rechnen von Links nach Rechts) + +Bemerkung:\\[2mm] +\hspace{3mm} \( x = a-b\)\\[2mm] +ist Lösung der Gleichung\\[2mm] +\(x+b=a\) + +Was ist -(a-b) ? + +\begin{tabular}{rcl} + \(-(a-b)\) & \(=\) & \( (-1) \cdot (a-b)\)\\ + & \(=\) & \((-1) \cdot a + (-1) \cdot (-b)\)\\ + & \(=\) & \( -a + (-(-b)) \)\\ + & \(=\) & \(-a + b) \) +\end{tabular} + +Bei Negierung einer Klammer wird \(+\) und \(-\) vertauscht. + +Entsprechendes bei Subtraktion einer Klammer: + +\begin{tabular}{rcl} + \( a-(b-c) \) & \(=\) & \( a+(-(b-c)) \)\\ + & \(=\) & \( a+(-b+c) \)\\ + & \(=\) & \( a-b+c \) +\end{tabular} + +\begin{tabular}{cl} + & \( a-(b-(c-(d-e))) \) \\ + \(=\) & \( a-b+(c-(d-e))\) \\ + \(=\) & \( a-b+c-d+e\) +\end{tabular} + +\section{Rationale Zahlen} + +Gleichung:\\[2mm] +\hspace*{4mm} \(x \cdot a = 1\)\\[2mm] +hat keine Lösung \( x \in \mathbb Z \) für \( a \ne 1 \) + +Idee, führe \(\frac{1}{a}\) ein für \( a\ne 0\)\\ +mit \( \frac{1}{a} \cdot a = 1\) + +\subsubsection{Neues Rechengesetz:} + +\begin{multicols}{2} + \(\frac{1}{a} \cdot a = 1\) + \columnbreak\\ + Multiplikatives Inverses (I\(\cdot\)) +\end{multicols} +für \(a \ne 0\) + +Schreibweise: + +\( b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a} \)\\ +Oben: Zähler; Unten: Nenner + +Alle anderen Rechengesetze sollen weiter gelten. + +\( \frac{1}{1} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 \) + +Rechengesetze (abgeleitet) fürs Bruchrechnen + +\subsection{Multiplikation von Brüchen} + +\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) + +\begin{tabular}{rclcl} + \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\) & \(=\) & \( a \cdot \frac{1}{b} \cdot c \frac{1}{d} \) & \hspace*{10mm} & Def. Bruch\\[1mm] + & \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot 1 \) & \hspace*{10mm} & KG\(\cdot\), NE\(\cdot\)\\[1mm] + & \(=\) & \( a \cdot c \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d} \cdot (b \cdot d \cdot \frac{1}{b \cdot d} ) \) & \hspace*{1cm} & I\(\cdot\)\\[1mm] + & \(=\) & \( a \cdot c \cdot (\frac{1}{b} \cdot b) \cdot (\frac{1}{d} \cdot d) \cdot \frac{1}{b \cdot d} \)& \hspace*{1cm} & KG\\[1mm] + & \(=\) & \(a \cdot c \cdot \frac{1}{b \cdot d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \) & \hspace*{1cm} & Def. Bruch +\end{tabular} + +\subsection{Erweitern/Kürzen} + +\( \frac{a}{b} = \frac{c \cdot a}{c \cdot b} \) \hspace*{1cm} für \(c \ne 0\) + +\(\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \) + +\(\frac{2}{3} = \frac{10}{15} \) \hspace*{1cm} Bruchdarstellung nicht eindeutig! + +Eindeutige Darstellung: gekürzte Brüche\\ +Ein Bruch heißt \underline{gekürzt}, wenn Zähler und Nenner als gemeinsamen Teiler nur die 1 haben. + +\begin{multicols}{2} + Teiler von 2: \underline{1}, 2\\ + Teiler von 3: \underline{1}, 3 + \columnbreak\\ + Teiler von 10: \underline{1}, 2, \underline{5}, 10\\ + Teiler von 15: \underline{1}, 3, \underline{5}, 15 +\end{multicols} + +\underline{ggT:} größer gemeinsamer Teiler\\[3mm] +\hspace*{4mm} \( ggT(10,15) = 5 \)\\ +\hspace*{4mm} \( ggT( 2, 3) = 1 \)\\[3mm] +D.\,h. Bruch \(\frac{a}{b}\) gekürtzt, falls \( ggT(a,b) = 1\) + +\(\frac{a}{b} = \frac{a : ggT(a,b)}{b : ggT(a,b)} \quad \Leftarrow\) gekürzter Bruch + +\subsection{Addition von Brüchen} + +\subsubsection{Addition von gleichnamigen Brüchen} + +\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \) + +\( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = a \cdot \frac{1}{c} + b \cdot \frac{1}{c} = (a+b) \cdot \frac{1}{c} = \frac{a+b}{c} \) + + +\subsubsection{Addition von ungleichnamigen Brüchen} + +\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot d}{c \cdot d} + \frac{b \cdot c}{d \cdot c} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{ d \cdot c } \) + +\underline{Bsp.:}\\ +\begin{tabular}{rcl} + \( \frac{2}{10} + \frac{7}{12}\) & \(=\) & \( \frac{3 \cdot 12 + 7 \cdot 10}{120} \) \\[2mm] + & \(=\) & \( \frac{36 + 70}{120} = \frac{106}{120} = \frac{53}{60} \) +\end{tabular} + +\begin{itemize} + \item[\(kgV(n,m)\)] kleinstes gemeinsames Vielfaches von n und m + \item[\(kgV(n,m)\)] \(= \frac{n \cdot m}{ggT(n,m)}\) +\end{itemize} + +\( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{a \cdot \frac{kgV(c,d)}{c}}{kgV(c,d)} + \frac{b \cdot \frac{kgV(c,d)}{d}}{kgV(c,d)} \) + + +%%% 24.09.2010 %%% + +\subsection{Potenzrechnung mit Brüchen} + +\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$} + +\((\frac{a}{b})^n = \underbrace {\frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b}}_{n-mal} = \frac{\overbrace {a \cdot ... \cdot a}^{n-mal}}{\underbrace {b \cdot ... \cdot b}_{n-mal}} = \frac{a^n}{b^n}\) + +Bsp.: \( \frac{a^3}{b^5} = \frac{1}{b^2} \cdot ( \frac{a}{b} )^3\) + +\subsubsection{Exponent von $n \in \mathbb N$} + +\(a^{-1}\) + +\(a^{-1} \cdot a^{1} = a^{-1+1} = a^0 = 1\quad \text{für } a \ne 0\) + +\( \frac{1}{a} \) ist das \(x\) mit \( x \cdot a = 1 \) + +\( \Rightarrow \frac{1}{a} = a^{-1} \) + +\( (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \) + +\( a^{-n} = a^{(-1) \cdot n} = (a ^{(-1)} )^n = (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n} \) + +\( (-a)^n = ((-1) \cdot a)^n = (-1)^n \cdot a^n \) + +\( (-1)^n = \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} \cdot ... \cdot \overbrace {(-1) \cdot (-1)}^{1} = \begin{cases} + -1, & \text{wenn } n \text{ ungerade}\\ + 1, & \text{wenn } n \text{ gerade} +\end{cases}\) + +\section{Stellenwertsystem} + +Zahlendarstellung auch hintereinandergeschriebene Ziffern.\\ +Wert der Ziffern von Position abhängig + +\begin{tabular}{lccccc} + Bsp.: & 7 & 0 & 3 & 7 & 1\\ + & \(10^4\) & \(10^3\) & \(10^2\) & \(10^1\) & \(10^0\) +\end{tabular} + +Wert (dargestellte Zahl): + + \( \quad 7 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0\) + +Basis b + +b Ziffern \( \quad Z_0, ... Z_{b-1} \) + +mit Wert \( w_{(Z_0)} = 0, ... w_{(Z_{b-1})} = b-1 \) + +Bsp.: +\hspace*{6mm} \( b = 10\)\\ +\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1',...,'9'\)\\ +\hspace*{6mm} Wert \( 0,1,...,9\) + +\hspace*{3mm} 2er-System:\\ +\hspace*{6mm} \( b = 2\)\\ +\hspace*{6mm} Ziffern \( '0','1'\)\\ +\hspace*{6mm} Wert \( 0,1\) + +\hspace*{3mm} 16er-System:\\ +\hspace*{6mm} \( b = 16\)\\ +\hspace*{6mm} Ziffern \( '0',...,'9','a',...,'f'\)\\ +\hspace*{6mm} Wert \( 0,...,9,10,...,15\) + + +Im System mit Basis b steht die Ziffenfolge + + \(Z_{a_k} Z_{a_{k-1}} ... Z_{a_0} \) + +für die Zahl + + \(a_k \cdot b^k + a_{k-1} \cdot b^{k-1} + ... + a_0 \cdot b^0 \) + \( = \sum_{i=0}{k} a_i \cdot b^i\) + +Bsp.: + +\begin{tabular}{rcl} + \( ( 1 A F )_{16}\) & \(=\) & \( 16^2 + 160 + 16 \) \\ + & \(=\) & \(156 + 160 + 15\) \\ + & \(=\) & \(431\) +\end{tabular} + +\subsection{Nachkommastellen} + +\(Z_k, ... , Z_1 , Z_0 \text{\textbf{ , }} Z_{-1} , ... \) + +hat wer + + \( a_k \cdot b^k + ... + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0 + a_{-1} \cdot b^{-1} + ... \) + +Bsp.:\\ +\(1,5 = 1 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} = 1 + \frac{5}{10} = \frac{3}{2} \) + +\( (1,1)_2 = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) + +\subsection{Zählen} + +\(199 +1 = 200\) + +\(10111)_2 = (11000)_2 \) + +\subsection{Addition, Multiplikation} + +\subsubsection{Schriftlich Addieren} + +\begin{multicols}{2} + 10er-System: + + \begin{tabular}{ccccc} + 5&4&3&1&1\\ + &2&1&8&9\\ + &&\tiny{1}&\tiny{1}&\\ + 5&6&5&0&0 + \end{tabular} + \columnbreak\\ + 10er-System: + + \begin{tabular}{cccccccc} + &1&0&1&1&0&1&1\\ + &&1&1&0&0&0&1\\ + \tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}& & &\tiny{1}&\tiny{1}&\\ + 1&0&0&0&1&1&0&0 + \end{tabular} +\end{multicols} + +\subsubsection{Schriftliche Multiplikation} + +\begin{multicols}{2} + 10er-System: + + \begin{tabular}{ccccccccc} + 5&4&4&1&\(\cdot\)&1&2&0&3\\ + \hline + &&5&4&4&1\\ + &&1&0&8&8&2\\ + &&&&&&0\\ + &&&&1&6&3&2&3\\ + &&&\tiny{1}&\tiny{1}\\ + \hline + &&6&5&4&5&5&2&3\\ + \end{tabular} + \columnbreak\\ + 2er-System: + + \begin{tabular}{ccccccccccc} + 1&0&0&1&1&0&\(\cdot\)&1&0&1&1\\ + \hline + &&1&0&0&1&1&0\\ + &&&&&&&&0\\ + &&&&1&0&0&1&1&0\\ + &&&&&1&0&0&1&1&0\\ + &&&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}\\ + \hline + &&1&1&0&1&0&0&0&1&0 + \end{tabular} +\end{multicols} + +\subsection{Dividieren} + + \( a : b \)\\ + \( a \rightarrow\) Divident \\ + \( b \rightarrow\) Divisor + +Im Prinzip durch Sukzessives Subtrahieren. Divisor wird dabei möglichst hoch gewichtet. + +Bsp:\\ +\begin{tabular}{cccccccccc} + \hspace*{4mm}&4&5&0&:&1&5&=&3&0\\ + &4&5&0&\\\cline{2-4} + &&&0 +\end{tabular} + +\begin{tabular}{lcccccccccccc} + \cline{8-13} + \hspace*{4mm}&1&:&7&=&0&,&1&4&2&8&5&7\\ + &0\\\cline{2-2} + &1&0\\ + &&7\\\cline{2-3} + &&3&0\\ + &&2&8\\\cline{3-4} + &&&2&0\\ + &&&1&4\\\cline{4-5} + &&&&6&0\\ + &&&&5&6\\\cline{5-6} + &&&&&4&0\\ + &&&&&3&5\\\cline{6-7} + &&&&&&5&0\\ + &&&&&&4&9\\\cline{7-8} + &&&&&&&1&0 +\end{tabular} + +\section{Polynom} + +Arithmetischer Ausdruck + +\(a_k \cdot x^k + ... + a_1 \cdot x1 + a_0 \quad \text{mit } a_i \in \mathbb Q \text{später }\mathbb R\text{)} \) + +heißt Polynom x von Grad k \( \quad a_k \ne 0 \) + +\( = \sum_{i=0}^{k} a_i \cdot x^i \) + +Analogie zur Zahlendarstellung:\\ +\hspace*{3mm} Variable x = Basis b\\ +\hspace*{3mm} Ziffern sind beliebige Zahlen + +\subsection{Polynommultiplikation} + +\begin{tabular}{ccccccccccccccc} + ( & $x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $5x$ & $-$ & $1$ & ) \(\cdot\) ( & $x^2$ & $-$ & $2x$ & $-$ & $1$ &)\\ + \hline + &&&$x^5$&$+$&$0$&$+$&$5x^3$&$-$&$x^2$\\ + &&&&$-$&$2x^4$&$+$&$0$&$-$&$10x^2$&$+$&$2x$\\ + &&&&&&$-$&$x^3$&$+$&$0$&$-$&$5x$&$+$&$1$\\ + \hline + &\(=\)&&\(x^5\)&\(-\)&$2x^4$&$+$&$4x^3$&$-$&$11x^2$&$-$&$3x$&$+$&$1$ +\end{tabular} + +\subsection{Polynomdivision} + +Division \( p_{(x)} : q_{(x)} \) + +\begin{tabular}{l} + Solange \( Grad( p_{(x)} ) => Grad( q_{(x)} ) \)\\[2mm] + \begin{tabular}{|l} + Bestimme \(a \cdot x^l \) so, dass\\ + \(r_{(x)} = p_{(x)} - a ¸cdot x^l \cdot q_{(x)} \) \\ + kleineren Grad hat als \( p_{(x)} \)\\ + Output „\(a \cdot x^l + \)“\\ + \(p_{(x)} = r_{(x)} \) + \end{tabular}\\[2mm] + Wenn \( p_{(x)} \ne 0\) dann:\\ + \( \quad \text{Output } \frac{p_{(x)}}{q_{(x)}} \) +\end{tabular} + +\underline{Bsp.:} + +\begin{tabular}{rcccccccl} + \((\) & \(x^3\) & \(+\) & \(0 \cdot x^2\) & \(+\) & \(5 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \( ) : (x^2 - 2\cdot x - 1) = x + 2 + \frac{10 \cdot x + 1}{x^2 - 2 \cdot x - 1}\)\\ + \(-(\) & \(x^3\) & \(-\) & \(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \(x\) &&& \()\)\\\cline{2-8} + \( (\) & \(0\) & \(+\) & \(2 \cdot x^2 \) & \(+\) & \(6 \cdot x\) & \(-\) & \(1\) & \()\)\\ + \(-(\) &&&\(2 \cdot x^2\) & \(-\) & \( 4 \cdot x\) & \(-\) & \(2\) & \()\)\\\cline{2-8} + &&&& \(+\) & \(10 \cdot x \) & \(+\) & \(1\) +\end{tabular} + +\section{Reele Zahlen $\mathbb R$} + +rationale Zahlen:\\ +\hspace*{4mm} Darstellung als endliche oder periodische Dezimalbrüche + +\underline{Bsp.:}\\ + \(\frac{1}{7}\) + + \(3,0 \quad 3,1\overline{0} \approx 3,0\overline{9} \) + + Nicht periodische Dezimalbrüche\\ + Bsp.:\\ + \( 1,10100100010000... \)\\ + ist nicht rational\\ + \( \rightarrow \) irrationale Zahlen + +reele Zahlen: rationale und irrationale Zahlen + +%%% 27.09.2010 %%% + +\section{Brüche im Exponent} + +Was ist \( a^\frac{1}{b}\) ? + +Potenzregel: \( (a^m)^n = a^{n \cdot m} \) + +\( n = b; \quad m = \frac{1}{b} \quad \text{für } b \ne 0 \) + +\( (a^\frac{1}{b})^b = a^{b \cdot \frac{1}{b}} = a \) + +Idee: \( a^\frac{1}{b}\) ist Lösung von + + \( x^b = a \) + + \underline{Bsp.:} \( x^3=27 \quad b=3; a=27; Lsg.: x=3 \) + +\textbf{Probleme:}\\[2mm] +\begin{enumerate} + \item Manchmal gibt es mehrere Lösungen: \\[2mm] + \(x^2 = 4 \quad ; \text{Lsg.:} x_1 = 2 \text{ und } x_2 = -2 \)\\[2mm] + \(4^\frac{1}{2} = ? \)\\[2mm] + \(\rightarrow\) Positive Lösung, d.\,h. \(4^\frac{1}{2} = 2 \) + \item Manchmal gibt es keine Rationale Lösung\\[2mm] + \underline{Bsp.:} \(b=2 \quad a=3\)\\[2mm] + \(x^2 = 3\)\\[2mm] + hat keine Rationale Lösung\\ + Annäherung durch Rationale Zahlen:\\[2mm] + \( \quad 1 < x < 2 \) \\[2mm] + \( \quad 1,7 < x < 1,8 \)\\[2mm] + \( \rightarrow \) Irrationale Zahl\\[3mm] + \( \rightarrow \) reele Zahlen + \item \( b < 0 \rightarrow \) keine Reele Lsg.\\[2mm] + \(x^2 = -1\)\\[2mm] + \(\rightarrow\) neue Zahlen: \( \mathbb C \) (komplexe Zahlen)\\[1mm] + \underline{Bsp.:} \( 2+\sqrt{-4} = 2+2i \) +\end{enumerate} + +\underline{Def.:} Für \(a \ge 0\) ist \(a^\frac{1}{b}\) die positive Lösung der Gleichung + + \(x^b = a\) + +Schreibweise: + +\(\sqrt[b]{a} = a^\frac{1}{b} \) + +\small{b = Wurzelexponent; a = Radikant} + +Für \(a<0\) und b ungerade ist \( \sqrt[b]{a} \) Definiert als Lösung der Gleichung\\[2mm] +\(a^b = a\) + +\underline{Bsp.:}\\[3mm] +\( \sqrt[3]{27} = 3 = 27^\frac{1}{3} \) \\[3mm] +\( \sqrt[3]{-27} = -3 \) \\[1mm] +\((-27)^\frac{1}{3} \) ist undefiniert + +Sonst: + +\( (-27)^\frac{1}{3} = (-27)^\frac{2}{6} = (-27)^{2 \cdot\frac{1}{6}} = (27^2)^\frac{1}{6} \)\\[1mm] +\( = 3 \) !widerspruch! + +Was ist \( \sqrt{x^2} \) ?\\[1mm] +\( \quad \sqrt{x^2} = \left| x \right| \) + +\subsection{Potenzgesetze} + +\( a,b \in \mathbb R^+ \)\\ +\( m,n \in \mathbb Z (\mathbb R) \quad n \ne 0\)\\ +\( \alpha,\beta \in \mathbb R\) + +\(a^0 = 1 \quad \) (gilt auch für \( \alpha \in \mathbb R^-\)) + +\( \frac{1}{a^\alpha} = a^{-\alpha} \) + +\( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \) + +\(a^\alpha \cdot b^\alpha = (a \cdot b)^\alpha \) und \( \frac{a^\alpha}{b^\alpha} = \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha \)\\[1mm] +(Produkt mit gleichem Exponent) + +\(a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \) und \( \frac{a^\alpha}{a^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha-\beta} \)\\[1mm] +(Produkt mit gleicher Basis) + +\( (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta} \) + +Bemerkung: +\hspace*{4mm} für \( \alpha,\beta \in \mathbb Z \) ist auch \( a,b \in \mathbb R \) möglich. + +\section{Logarithmen} + +\begin{itemize} + \item[Def.:] Sei \( a \in \mathbb R^+, b \in \mathbb R^+, b \ne 1\)\\ + Der Logarithmus von a zur Basis b\\ + \hspace*{3mm} \( \log_{b}{ a} \)\\ + ist diejenige Zahl \( x \in \mathbb R\) mit\\ + \hspace*{3mm} \( b^x = a \) + \item[Bem.:] Dieses \(x\) ist eindeutig + \item[Bew.:] + \begin{itemize} + \item[] \( b^{x_1} = b^{x_2} = a \) \\ + \item[\(\Rightarrow\)] \( a \cdot b^{x_1 - x_2} = b^{x_1} \cdot b^{x_2-x_1}\)\\ + \( = b^{x_2} \)\\ + \(a \cdot b^{x_2-x_1} = a \quad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \) + \item[\(\Rightarrow\)] \( b^{x_2-x_1} = 1 \) + \item[\(\Rightarrow\)] \( b=1 \) (ausgeschlossen)\\ + oder \( x_2-x_1 = 0 \) d.\,h. \(x_2 = x_1 \) + \end{itemize} +\end{itemize} + +Es gilt also: +\begin{tabular}{|c|} + \hline + \(b ^{\log_{b} a} = a \) + \\\hline +\end{tabular} + +\underline{Bspe.:} \\[1mm] +\( \log_{7} 49 = 2 \)\\[1mm] +\( \log_{2} 64 = 6 \)\\[1mm] +\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} = 4 \)\\[1mm] +\( \log_{3} 81 = 4 \)\\[1mm] +\( 2^{\log_{2} 10} = 10 \) + +\subsection{Logarithmen-Gesetze} + +\(x,y \in \mathbb R^+\) \\ +\(b \in \mathbb R^+ \quad b \ne 1\) + +\begin{itemize} + \item[(I)] \( \log_{b} (x \cdot y ) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y) \) + \item[(II)] \( \log_{b} \left( \frac{x}{y}\right) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y) \) + \item[(III)] \( \log_{b} x^a = a \cdot \log_{b} x \quad (a \in \mathbb R) \) + \item[(IV)] \( \log_{b} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b } \quad a \in \mathbb R^+ ; a \ne 1 \) + \item[(V)] \( \log_{b} 1 = 0 \quad und \quad \log_{b} b = 1 \) +\end{itemize} + +\subsubsection{Beweis} + +\begin{itemize} + \item[(I)] + Es gilt:\\ + \( b^{\underline{log_{b} (x \cdot y)}} = x \cdot x = b^{\log_{b} x} \cdot b^{\log_{b} y} \)\\[2mm] + \( = b^{ \underline{\log_b x + \log_b y}} \)\\ + \( \Rightarrow \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \) + \item[(III)] + \( b^{\underline{\log_b x^a}} = x^a = (b^{log_b x})^a = b^{\underline{a \cdot log_b x}} \) + \item[(II)] + \( \log_b \frac{x}{y} = \log_b x \cdot y^{-1} = \log_b x + \log_b y^{-1} \)\\ + \( = \log_b x + (-1) \cdot \log_b y \) + \( = \log_b x - \log_b y \) + \item[(IV)] + \( \log_a a \cdot x = \log_a b^{\log_b x} \)\\ + \( = \log_b x \cdot \log_a b \)\\ + \( \Rightarrow = \frac{\log_a x}{\log_a b} \) +\end{itemize} + +\underline{Bspe.:}\\ + \( log_{10} 3^6 = 5 \cdot log_{10} 3 \)\\[2mm] + \( log_{10} \frac{2 \cdot b^2}{x^5} = log_{10} 2 \cdot b^2 - \log_{10} x^5 \)\\[2mm] + \( = \log_{10} 2 + 2 \cdot \log_{10} b - 5 \cdot \log_{10} x \) + +\section{Runden} + +Untere/Obere Ganzklammern + +\begin{itemize} + \item[\( \lfloor x \rfloor \)] = größte ganze Zahl \( z \le x \) + \item[\( \lceil x \rceil \)] = kleine ganze Zahl \(z \ge x \) +\end{itemize} + +\( \lceil 4,5 \rceil = 5 \)\\ +\( \lfloor 4,5 \rfloor = 4 \)\\ +\( \lceil -3,1 \rceil = -3 \)\\ +\( \lfloor -3,1 \rfloor = -4 \)\\ +\( \lfloor 4 \rfloor = 4 \)\\ +\( \lceil 5 \rceil = 5 \) + +\section{Naive Mengenlehre} + +\underline{Def.:} Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.\\ +Eine Menge ist ein neues Objekt, die Menge ihrer Objekte.\\ +Ein Objekt ist entweder in der Menge\\ +\hspace*{3mm} \( x \in M \) (x Element von M)\\ +oder nicht in der Menge\\ +\hspace*{3mm} \(x \not\in M \)\\ +(nichts sonst) + +Darstellung: + +\begin{enumerate} + \item + Aufzählung der Elemente in Mengenklammern\\ + Bspe.:\\ + \( \{1,2,3\} \) + + Die Menge der Teiler von 6:\\ + \( T_6 = \{1,2,3,6\} \) + + \( \mathbb N = \{0,1,2,...\} \) + + \(\mathbb Z = \{ ...,-2,-1,0,1,2,...\} \) + + \( \mathbb Q, \mathbb R \) + + \( \{ \{1,2,3\}, \{1,2,3,6\}, \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R \} \)\\ + (Menge der oben genannten Mengen) + + \( \emptyset = \{\} \) + \item + Durch eine Eigenschaft der Elemente (Grundmenge a) + + \( \{ x | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \) + + \( \{ x \in G | x \text{ hat Eigenschaft E }\} \)\\ + \( = \{ x | x \in G \text{ und x hat Eigenschaft E} \} \) +\end{enumerate} + +\underline{Bsp.:} + +\( T_6 = \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist Teiler von } 6 \} \)\\ +\( = \{ x \in \mathbb N | x \text{ teilt } 6 \} \) + +\( \{ x \in \mathbb N | x \text{ ist vielfaches von } 2 \} \)\\ +Menge aller geraden Zahlen + +\( \{ x \in \mathbb R | x^2 = 9 \} = \{-3,3\} \) + +%%% 29.09.2010 %%% + +Darstellung mit Eigenschaft und Transformation + + \( \{ f_{(x)} | x \text{ hat Eigenschaft E} \} \)\\ + =\( \{ y | \text{ es gibt ein x mit Eigenschaft E und } y = f_{(x)} \} \) + +\underline{Bsp.:} + + \( \{ 2 \cdot x | s \in \mathbb Z \} = \{ ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \)\\ + = Menge der Vielfachen von 2 + + \( \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb R \} = \mathbb R \) + + \( \{ x^2 | x \in \mathbb Z \} = \) Menge aller Quadratzahlen + + \(\{ x^2 | x \in \mathbb R \} = \mathbb R^{+}_0 = \{ x \in \mathbb R | x \ge 0 \} \) + +Zwei Mengen sind \underline{gleich}, wenn die dieselben Elemente enthalten + +\( A = B \) + +Bsp.: + + \( \{ 1,2,3\} = \{3,1,2\}\)\\ + \(\{2,3,4\} \ne \{ 1,2,3 \} \)\\ + \( \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist gerade }\} = \{ 2 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \) + +\subsection{Teilmengenbeziehungen} + +\begin{itemize} + \item[\( A \subseteq B \)] + \(A\) ist Teilmenge von \(B\), falls jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist. + \item[Bspe.:] + \( \{ 1,2,3\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\ + \( \{ 1\} \subseteq \{ 1,2,3\} \)\\ + \( \{1,2\} \not\subseteq \{1\} \) + \item[Satz:] + Es gilt folgendes für alle Mengen \(A,B\) + \begin{enumerate} + \item \( \emptyset \subseteq A \) + \item \( A \subseteq A \) + \item Wenn \( A \subseteq B \) und \( B \subseteq A \), dann \(B=A\) + \end{enumerate} + 3. wird oft benutzt, um zu zeigen, das 2 Mengen gleich sind. +\end{itemize} + +\subsection{Notation} + +\begin{itemize} + \item[\( \subseteq \)] + (Manchmal in der Literatur \(\subset\) ) + \item[\( \subsetneq \)] + \(A \subsetneq B\) ( \(A\) echte Teilmenge von \(B\), falls \( A \subseteq B \) aber \(A \ne B \)\\ + ( \( \subsetneq \) in anderer Literatur manchmal \( \subset \) + \item[ \(\not\subseteq\) ] + \( A \not\subseteq B \) (\(A\) nicht Teilmenge von \(B\) ) +\end{itemize} + + +\subsection{Operationen auf Mengen} + +\begin{tabular}{lcl} + Schnitt: & \( A \cap B \) & (A Geschnitten B)\\ + && \( A \cap B = \{ x | x \in A \text{ und } x \in B \} \)\\[2mm] + Vereinigung: & \( A \cup B \) & \( A \cup B = \{ x | x \in A \text{ oder } x \in B \} \) \\[2mm] + Differenz: & \( A-B\) & \( = A \backslash B = \{ x | x \in A \text{ und } x \not\in B \} \) +\end{tabular} + +Komplement mit einer Grundmenge \(G\) (d.\,h. \(A \in G\) )\\ +\( \overline{A} = G-A \) + +\underline{Bspe.:} + + \( \{1,2,3\} \cup \{3,4,5\} = \{1,2,3,4,5\} \) + + \( \{1,2,3\} \cap \{3,4,5\} = \{3\}\) + + \( \{1,2,3\} - \{3,4,5\} = \{1,2\} \) + + \( H = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist nicht vielfaches von } 12 \} \) + + \( \overline{H} = \{ x \in \mathbb Z | x \text{ ist vielfaches von } 12 \} \)\\ + \( = \{ 12 \cdot x | x \in \mathbb Z \} \) + + \( \overline{\overline{H}} = H \) + +\subsection{Mengendiagramme} + +(Venn / Euler-Diagramm) + +\includegraphics{bilder/mengendiagramme_1.pdf} + +1: \( A \subseteq B \) ; 2: \( A \cap B \) und \( A \cup B \) + +\includegraphics{bilder/mengendiagramme_2.pdf} + +3: \( \overline A \) ; 4: \( (A \cap B) - C = (A-C) \cap (B-C) \) + +\section{Intervalle} + +Eine Teilmenge \(I\) von \(\mathbb R \) ist ein Intervall, falls für \( a,b \in I\) auch jedes \(c, a < c < b\) in \(I\) ist.\\ +D.\,h. auf dem Zahlenstrahl dargestellt ist ein Intervall ein Zusammenhängendes Gebiet. + +Bezeichnung durch Zahlen am Rand, die entweder im Interval liegen \([ \text{ bzw. }]\) oder nicht ( bzw. ) + +Bsp.:\\ + \( {[3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 \le x < 5 \} \) \\ + \( {(3;5)} = \{ x \in \mathbb R | 3 < x < 5 \} \) + + \( \{ 1,2,3\} \) kein Intervall, denn \( 1,5 \not\in \{1,2,3\} \)\\ + aber \( 1 \in \{ 1,2,3 \} \) + +\subsection{Unbegrenztes Intervall} + +\( {(-\infty ; 5 ]} = \{ x \in \mathbb R | x \le 5 \} \)\\ +\( { (-3;+\infty)} = \{ x \in \mathbb R | -3 < x \}\) + +\textbf{Intervalle sind Mengen} + +\underline{Bspe.:}\\ + \( {[1;2]} \subseteq {[0;3)} \)\\ + \( {[1;2]} - {(1;2)} = \{1;2\} \)\\ + \( {[4;4]} \cap {(2,5;10)} = {(3,5;4]} \) + +\begin{itemize} + \item[\underline{Achtung:}] + zwischen \(\subseteq\) und \(\in\) unterscheiden! + \item[Bsp.:] + \( \{1,2\} \subseteq \{1,2,3\} \)\\ + \( \{1,2\} \not\in \{1,2,3\} \) + + \( \{1,2\} \not\subseteq \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \) + \item[aber] + \( \{1,2\} \in \{ \{1\}, \{1,2\}, \mathbb Z \} \) +\end{itemize} + +\section{(Un-)Gleichungen} + +Für die Ordnungsrelation \(<\) („kleiner“) auf \(\mathbb R\) gelten die folgenden Grundregeln + +\begin{enumerate} + \item + Für \( a,b \in \mathbb R\) gilt genau einer der drei Fälle:\\ + \(a < b, a = b, a > b\) + \item + Transivität\\ + \( a b \)\\ + \(a = b \) + \item + Monotonie der Addition\\ + \( a < b = a+c < b+c \)\\ + für jedes \( c \in \mathbb R \) + \item + Monotonie der Multiplikation mit positiven Zahlen\\ + Für \( a > 0\) gilt:\\ + \( b > c \Rightarrow a \cdot b > a \cdot c \) +\end{enumerate} + +\underline{Bemerkung 1:} Für \( <;\le;>;\ge,= \) gelten die selben Gesetze für \(=\) gilt 4. für jedes \( a \in \mathbb R \) + +\underline{Bemerkung 2:} (Einschub)\\ +Implikation \( A \Rightarrow B \)\\ +(Aus \(A\) folgt \(B\), wenn \(A\), dann \(B\))\\ +Bedeutet immer wenn \(A\) wahr ist, dann ist auch \(B\) wahr. + +Bsp.: + +\(x \text{ teilt } 6 \Rightarrow a \text{ teilt } 12 \)\\ +ist richtig, denn wenn \( 6 = a \cdot x\) für \(a \in \mathbb N \), dann gilt \( 12 = 2 \cdot a \cdot x\), d.\,h. \(x\) teilt \(12\) + +\(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \)\\ +gilt nicht, da \((-1)^2 = 1\), aber \(-1 \ne 1\) + +\( x = 1 \Rightarrow x^2 = 1\)\\ +gilt + +Man schreibt \( A \Leftrightarrow B\) ( \( A \overbrace{\text{äquivalent}}^{\text{genau dann, wenn}} B\) ) gilt, falls \( A \Rightarrow B \) und \(B \Rightarrow A\) + +\(x\) ist gerade \( Leftrightarrow x\) ist Differenz zweier ungerader Zahlen\\ +Beweis:\\ +„\(\Rightarrow\)” wenn \(x\) gerade ist, dann ist \(x+1\) ungerade und \((x+1)-1\)\\ +„\(\Leftarrow\)“ wenn \(x,y\) ungerade ist, dann gilt:\\ + \( x-y = x+1 - (y-1) \qquad \text{ für } Z_1,Z_2 \in \mathbb Z \)\\ + \( = 2 \cdot Z_1 - 2 \cdot Z_2 \)\\ + \(2 \cdot (\underbrace{Z_1 - Z_2}_{\mathbb Z})\) + +\( \Rightarrow x-y\) ist gerade. + +\underline{Foglerungen} + +\subsection{Umformungen von Ungleichungen} + +\begin{enumerate} + \item + Addition: + \( b < c \Leftrightarrow a+b < a+c \) + \item + Multiplikation mit positiver Zahl ist Äquivalenzumformung:\\ + Für \(a>0\) gilt:\\ + \( b a \cdot c \) + \item + Addition von Ungleichungen:\\ + \(a0)\)\\ + \( \Leftarrow a \cdot < a \cdot c \qquad | \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \)\\ + \( \Rightarrow b < c \) + \item + \(a<0\)\\ + \(b 0\) \\ + \( \overset{2.}{\Leftrightarrow} -a \cdot b < -a \cdot c \qquad | +a \cdot b \)\\ + \( \overset{1.}{\Leftrightarrow} 0 < -a \cdot c + a \cdot b \qquad | + a\cdot c \)\\ + \( \overset{1.}{\Leftrightarrow} a \cdot c < a \cdot b \) + \item + \( a < b \text{ und } c < d\)\\ + \( \Rightarrow a+c < b+d \) und \( c+b < d+b \)\\ + Transivität\\ + \( \Rightarrow a+c < b+c < b+d \)\\ + \( \Rightarrow a+c < d+b \) +\end{enumerate} + +\underline{Bspe.:} + +\begin{tabular}{rclcl} + + \( x+1\) & \(<\) & \(-2x +3\) & \hspace*{1cm} & \( | +2x \)\\ + \(3x+1\) & \(<\) & \( 3\) && \(| -1 \)\\ + \(3x\) & \(<\) & \(2\) && \(| \cdot \frac{1}{3} \) \\ + \(x\) & \(<\) & \(\frac{2}{3}\) & +\end{tabular} + + \( \mathbb L = \{ x | x < \frac{2}{3} \} = {(-\infty;\frac{2}{3}]} \) + +\underline{Bsp.:}\\ + \( x>5\) und \(5>3\) + + \( \Rightarrow x+5 > 5+3 \)\\ + \( \Rightarrow x+5 > 8 \)\\ + (also \(x>5 \Rightarrow x+5 > 8\), aber nicht umgekehrt) + +\underline{Bsp.:}\\ + \(-\frac{1}{5} \cdot x < 2 \qquad | \cdot (-5) \)\\ + \( \Leftrightarrow x > -10 \) + + \( \mathbb L = (-10;\infty) \) + +\textbf{Vorsicht} bei Multiplikationen mit Variablen Ausdrücken ergeben sich Unterschiedliche Fälle, je nachdem, ob der Ausdruck \(>0\) oder \(<0\) ist.\\ +\underline{Bsp.:} \( \frac{1}{x} < 5 \qquad | \cdot x \) + +\underline{Fall 1 \(x>0\):}\\ + \( 1<5x \qquad | :5 \)\\ + \(\frac{1}{5} < x \) + + \( \mathbb L_1 = \{x | x > \frac{1}{5}\} \) + +\underline{Fall 2 \(x<0\):}\\ + \( 1 > 5x \qquad | :5 \)\\ + \(\frac{1}{5} > x \) + + \(\mathbb L_2 = \{ x \in \mathbb R^- \} \) + +\( \mathbb L = {(-\infty;0)} \cup {(\frac{1}{5};\infty)} \) + +%%% 30.09.2010 %%% + +\subsection{Gleichungen} + +Umformungsregeln entsprechend) + +\( b = c \Rightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \)\\ +\( b = c \Leftrightarrow a \cdot b = a \cdot c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R-\{0\} \quad \text{(1)}\)\\ +\( b = c \Rightarrow a + b = a + c \qquad \text{ für } a \in \mathbb R \) + +(1) Multiplikation mit Variablem Ausdruck:\\ +dieser darf nicht 0 werden + +\( a=b \text{ und } c=d \)\\ +\( a+c = b+d \) + +\(3 \cdot x +3 = -5 \cdot x + 5\) + +\(\Rightarrow 2\cdot x^2 - 15 \cdot x - 63 = 0 \) +\begin{enumerate} + \item + Mitternachtsformel:\( \qquad a \cdot x^2 + b \cdot x +c \) + + \( x_{1,2} = \frac{ - b \pm \sqrt{ b^2 - 4 \cdot a \cdot c } }{ 2 \cdot a } \) + + \( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-63) } }{ 2 \cdot 2 } \) + + \( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 225 + 504 } }{ 4 } \) + + \( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm \sqrt{ 729 } }{ 4 } \) + + \( x_{1,2} = \frac{ 15 \pm 27 }{ 4 } \) + + \( x_1 = \frac{21}{2} = 10,5 \) + + \( x_2 = -3 \) + + \( \mathbb L = \{ \frac{21}{2} ; -3 \} \) + \item + \( (2 \cdot (x-10) - 1) \cdot (x+3) = 0 \) + + \( (2x -21) \cdot (x+3) = 0 \) + + \( 2 \cdot (x-10,5) \cdot (x+3) = 0 \) +\end{enumerate} + +Allgemein: Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. + +\( a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \) + +Mehrere Faktoren: + +\( a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b = 0 \text{ oder } c = 0 \) + +Beweis: + +\( \quad (a \cdot b) \cdot c = 0 \)\\ +\( \Leftrightarrow (a \cdot b) = 0 \text{ oder } c=0 \)\\ +\( \Leftrightarrow a = 0 \text{ oder } b=0 \text{ oder } c=0 \) + +Aufsplittung quadratischer Polynome in Faktoren: + +sind \(x_1,x_2\) Lösungen von: + + \(a \cdot x^2 + b \cdot x +c = 0 \) + +dann gilt: + + \( a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)\\ + (Evtl. \(x_1 = x_2 \)) + +\underline{Bsp.:} + +\( ( \underbrace{|x| + 1 }_{>0} ) \cdot ( \underbrace{x-1}_{0 \text{ für } x=1 } ) \cdot 2 \cdot \underbrace{x}_{0 \text{ für } x=0} \cdot 5 = 0 \) + +\( |x| = \begin{cases} + -x& \text {für } x<0 \\ + x & \text{sonst} +\end{cases} \) + +\( \mathbb L = \{ 0 ; 1 \} \) + +\section{Funktionen} + +Eine Funktion + +\( f\colon\, A \to B\) (von \(A\) nach \(B\)) + +ordnet jedem Element \( x \in A\) genau ein Element in \(x \in B\) zu. + +\(A\) heißt Definitionsbereich\\ +\(B\) heißt Zielmenge/-Bereich + +wird \(x \in A\) das Element \(y \in B \) zugeordnet, schreibt man auch + + \(y = f(x) \) + +oder + + \(f\colon\, x \to y \) + +oder Veranschaulicht z.\,B. mit einem Mengenbild + +\underline{Bsp.:}\\ +\includegraphics{bilder/funktionen_mengenbild.pdf} + +\(f\colon\, \{ \text{Rafl}, \text{Peter}, \text{Maria}, \text{Leslie} \} \to \{ \text{m},\text{w} \} \) + +\( f\colon\, \text{Ralf} \to \text{m} \) + +\( f\colon\, \text{Peter} \to \text{m}\) + +\( f\colon\, \text{Maria} \to \text{w} \) + +oder: + +\( f(\text{Ralf}) = \text{m} \) + +\( f(\text{Leslie}) = \text{w} \) + +Vollständige Wertetabelle: + +\begin{tabular}{c|c|c|c|c} + \(x\) & Ralf & Peter & Maria & Leslie\\\hline + \(f(x)\) & m & m & w & w +\end{tabular} + +Funktionen die Zahlen auf Zahlen abbilden werden gerne durch eine Berechnungsvorschrift angegeben. + + \( f\colon\, \mathbb R \to \mathbb N \) + + \( f(x) = | \lceil x \rceil | \) + + z.\,B.: \(f(1) = 1 \qquad f(-\frac{3}{2}) = 1 \) + +2. + +\(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \) + +\(f(x) = \begin{cases}0 & \text{für } x<0 \\ + x & \text{sonst}\end{cases} \) + +z.\,B. \( f(5) = 5, \qquad f(-5) = 0 \) + +Bei funktionen in der Analysis\\ +\hspace*{4mm} \(f\colon\, \mathbb R \to \mathbb R \)\\ +ergibt sich der Definitionsbereich \(\mathbb D(f) \) oft aus der Berechnungsvorschrift + +\underline{Bspe.:} +\begin{multicols}{2} + \( f_{(x)} = \sqrt{x} \)\\ + \( f_{(x)} = \frac{1}{1-x} \)\\ + \( f_{(x)} = \log_{10} x^3 \) + \columnbreak\\ + \( \mathbb D(f) = {[0;\infty)} \)\\ + \( \mathbb D(f) = \mathbb R - \{1\} \)\\ + \( \mathbb D(f) = \{x \in \mathbb R | x > 0\} \) +\end{multicols} + +\subsection{Injektiv} + +Eine Funktion \(f\colon\, A \to B \) heißt Injektiv, falls + +\hspace*{4mm} \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \) + +Bzw. äquivalent ausgedrückt: + +\hspace*{4mm} \( x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)\\ +\hspace*{4mm} für alle \( x_1,x_2 \in A\) (Kontraposition) + +\underline{Bspe.:} +\begin{multicols}{2} + \includegraphics{bilder/injektiv_bsp.pdf}\\ + \(g\colon\, \mathbb N \rightarrow \mathbb Z \)\\ + \(g(x) = 2 \cdot x - 3 \) +\columnbreak\\ + Nein, z.\,B.\\ + \(x_1 = 2; x_2 = 1\)\\ + \( f(1) = f(2) \text{ aber } 1 \ne 2 \)\\ +\begin{align*} +\mathbb W &= \{ f(1), f(2), f(3) \}\\ + &= \{1,2\} +\end{align*} +\end{multicols} + +\begin{align*} + g(x_1) &= g(x_2)\\ + 2 \cdot x_1 -3 &= 2 \cdot x_2 - 3 &|+3\\ + \Leftrightarrow \quad 2 \cdot x_1 &= 2\cdot x_2 &| \cdot \frac{1}{2}\\ + \Leftrightarrow \quad x_1 &= x_2 +\end{align*} + +d.\,h. injektiv \(g(x_1) = g(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \)\\ +\begin{align*} + \text{Wertebereich } \mathbb W(g) &= \{f(x) | x \in A \}\\ + f\colon\, A \rightarrow B &= \{ -3,-1,1,3,...\}\\ + &= \{ x \in \mathbb Z | x \ge -3 \text{ und } x \text{ ungerade}\} +\end{align*} + +\subsection{Surjektiv} + +Eine Funktion heißt Surjektiv, falls \( \mathbb W(f) = B\) + +\includegraphics{bilder/surjektiv_bsp.pdf} + +\(F_Z\) ist surjektiv und injektiv. + +\subsection{Bijektiv} + +Eine Funktion \( f\colon\, A \mapsto B \) die surjektiv und bijektiv ist, ist \underline{bijektiv}.\\ +Eine bijektive Funktion \(f\colon\, A \mapsto B \) hat eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\, B \mapsto A \) mit + +\( f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y \) + +\( f\colon\, \{1,2,3\} \mapsto \{1,2,3\} \) + +\includegraphics{bilder/bijektiv_bsp.pdf} + +\end{document} diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.pdf new file mode 100644 index 0000000..6bc2d0a Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.svg new file mode 100644 index 0000000..6327f2c --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/bijektiv_bsp.svg @@ -0,0 +1,169 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + + + + + diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.pdf new file mode 100644 index 0000000..e3aabc5 Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.svg new file mode 100644 index 0000000..b9e59b0 --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/funktionen_mengenbild.svg @@ -0,0 +1,206 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + Ralf + Peter + Maria + Leslie + m + w + f: + A + B + + + + + + diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.pdf new file mode 100644 index 0000000..2164b1b Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.svg new file mode 100644 index 0000000..3214035 --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/injektiv_bsp.svg @@ -0,0 +1,178 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + + + + f: + + diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.pdf new file mode 100644 index 0000000..0ac25fa Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.svg new file mode 100644 index 0000000..de03fa0 --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_1.svg @@ -0,0 +1,235 @@ + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + A + B + 1 + 2 + ... + ... + 3 + + + A + B + 1: + 2: + + + + diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.pdf new file mode 100644 index 0000000..0a9bd51 Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.svg new file mode 100644 index 0000000..7e9bd39 --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/mengendiagramme_2.svg @@ -0,0 +1,197 @@ + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + A + B + 3: + 4: + + + + A + B + C + + + + + diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.pdf b/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.pdf new file mode 100644 index 0000000..d7ae5be Binary files /dev/null and b/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.pdf differ diff --git a/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.svg b/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.svg new file mode 100644 index 0000000..bb7badb --- /dev/null +++ b/Mathematik_Vorkurs/bilder/surjektiv_bsp.svg @@ -0,0 +1,192 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + + + + f: + Z + +