diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
index 2ad9fcd..b1926c2 100644
--- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
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@@ -18,7 +19,7 @@
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+\usepackage{graphicx}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}
@@ -1190,4 +1191,80 @@
Gefragt: \( \exists D \subseteq V, \left|D\right|\le k\)\\
so dass für jeden Knoten $v\in V$ gilt: $v$ oder ein Nachbar von $v$ ist in $D$.
+ \( VC \le^P DS:\)\\
+ Sei $G,k$ eine Eingabe für $VC$.\\
+ Ziel: konstruiere $G'$, so dass $(G,K)\in VC \Leftrightarrow (G',k) \in DS$
+
+ \includegraphics{bilder/ds-vc.eps}
+
+ Für jede Kante $(u,v)$ in $G$ führe neuen Knoten $K_{(u,v)}$ ein und Kanten $(u,K_{(u,v)})$ und $(v,K_{(u,v)})$ (ungerichtet).
+
+ \('\Rightarrow'\) Sei $C$ $VC$ in $G$, d.\,h. für jede Kante $(u,v) \in E$ ist $u\in C$ oder $v\in C$.
+
+ \(\Rightarrow\) der neue Knoten $K_{u,v}$ hat einen Nachbarn in $C$\\
+ \(\Rightarrow\) $C$ ist d.s. in $G'$.\\
+ \('\Leftarrow'\) Sei $D$ d.s. in $G'$\\
+ \includegraphics{bilder/ds-vc2.eps}
+ Enthält $D$ neue Knoten $K_{u,v}$ dann ersetze $K_{u,v}$ durch $u$ in $D$. Danach entsteht $D'$. Dann ist $D'$ (immer noch d.s.).\\
+ Dann gilt \( \left|D'\right| \le k\) und $D'$ ist V.C. in $G$:\\
+ wäre für Knate $(u,v)$ weder $u\in D'$ noch $v\in D'$, dann hätte $K_{u,v}$ keinen Nachbarn in $D'$.\\
+ Dann wäre $D'$ kein D.S. \Lightning
+
+ \underline{Subset Sum}
+
+ Gegeben: \(a_1,a_2,…,a_n,b\).\\
+ Gefragt: \( \exists I \le \{ 1,2,…,n\} \quad \sum\limits_{i\in I} a_i - b \)
+
+ \bsp \(1,2,5,7,9,\underbrace{14}_{=b} \in \) Subset Sum\\
+ \( 4 \not\in \) Subset Sum
+
+ \( \in NP:\) rate $I$, teste Summe.\\
+ Subset Sum ist $NP$-Vollständig.\\
+ $3-SAT \le^P$ Subset Sum:
+
+ Sei \( F(x_1,…x_n) = C_1 \land … C_m \) .\\
+ \( b = \underbrace{33…3}_{m}{\color{Orange}|} \underbrace{11…1}_{n} \) dezimal.
+
+ \bsp \( F = (x_1 \lor \overline{x_2} \lor x_3) \land (\overline{x_1} \lor x_2 \lor x_4) \land (\overline{x_2} \lor \overline{x_4} \lor x_5) \)\\
+ Zahlen \( y_1, …, y_n \) für \( x_1,…,x_n \)\\
+ \( y_1 = \overbrace{100}^{m=3} {\color{Orange}|} \overbrace{1000}^{n=5} \)\\
+ $x_1$ kommt in $C_1$ vor\\
+ $X_1$ kommt nicht in $C_2,C_3$ vor.
+
+ \( y_2 = 010 {\color{Orange}|} 01000 \)\\
+ \( y_3 = 100 {\color{Orange}|} 00100 \)\\
+ \( y_4 = 010 {\color{Orange}|} 00010 \)\\
+ \( y_5 = 001 {\color{Orange}|} 00001 \)
+
+ Analog \( Z_1,…,Z_n \) für \( \overline{x_1},…,\overline{x_n}\)\\
+ \( Z_1 = 010 {\color{Orange}|} 10000 \)\\
+ \( Z_2 = 101 {\color{Orange}|} 01000 \)\\
+ \( Z_3 = 000 {\color{Orange}|} 00100 \)\\
+ \( Z_4 = 001 {\color{Orange}|} 00010 \)\\
+ \( Z_5 = 000 {\color{Orange}|} 00001 \)
+
+ Füllzahlen \( f_1,…f_m, g_1,…g_m \)\\
+ \( f_1 = g_1 = 100 {\color{Orange}|} 00000 \)\\
+ \( f_2 = g_2 = 010 {\color{Orange}|} 00000 \)\\
+ \( f_3 = g_3 = 001 {\color{Orange}|} 00000 \)
+
+ Es gibt nie Überträge, da im vorderen Teil kann man höchstens auf 3 Einsen kommen pro Klauselspalte mit $y-$ und $z-$Zahlen + max. 2 Einsen mit $f-$ und $g-$Zahlen.\\
+ \(\Rightarrow\) Summe pro Klauselspalte \(\le 5\)\\
+ Im hinteren Teil höchstens 2 Einsen pro Spalte.
+
+ \('\Rightarrow'\) Sei \( a = (a_1,…,a_n)\) erfüllende Belegung von $F$.\\
+ Wähle $y_i$, falls $a_i = 1$,\\
+ wähle $z_i$, falls $a_i = 0$\\
+ Summe ergibt \( s_1s_2…s_m 11…1 \), wobei \(s_i \in \{1,2,3\} \), da in jeder Klausel $\ge 1$ Literal den Wert 1 hat.\\
+ Dann wähle passende Füllzahlen um auf $b$ zu kommen.\\
+ D.\,h. $f_i$ und $g_i$, falls $s_i=1$ und $f_i$, falls $s_i=2$.\\
+ \('\Leftarrow'\) Habe Subset Sum Problem eine Lösung.\\
+ Wegen 1-er Block in $b$ muss für jedes $i$ entweder $y_i$ oder $z_i$ in der Lösung sein.\\
+ \defin \(a_i=1\), falls $y_i$ in Lösung,\\
+ $a_i = 0$, falls $z_i$ in Lösung.
+
+ Dann ist $a=(a_1,…,a_n)$ erfüllende Belegung von F:\\
+ Da im vorderen Teil mit den Füll-Zahlen maximal 2 erreicht werden kann, muss die Summe der ausgewählten $y-$ und $z-$Zahlen $\ge 1$ je Klauselspalte sein.\\
+ \(\Rightarrow\) nach Konstruktion enthält also jede Klausel $\ge 1$ erfülltes Problem.
+
\end{document}
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml
new file mode 100644
index 0000000..1a7701e
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc.xml
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+
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+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
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+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
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+0.6 0 0 0.6 0 0 e
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+0.5 0 0 0.5 0 0 e
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+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
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+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
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+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
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+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
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+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
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+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
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+-0.43 -0.57 m
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+-0.57 -0.43 l
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+-0.43 0.57 m
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+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
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+-1 -0.333 l
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+-1 0.333 l
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+-1 -0.333 l
+h
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+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
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+-1 0.333 m
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+-1 -0.333 l
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+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
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+-1 0.333 l
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+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
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+64 768 l
+128 704 l
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+224 768 l
+288 704 l
+
+
+224 768 m
+208 736 l
+224 704 l
+256 688 l
+288 704 l
+304 736 l
+288 768 l
+256 784 l
+224 768 l
+240 720 l
+288 704 l
+288 704 l
+
+Vortex Cover
+$G'$
+
+
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc2.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/ds-vc2.xml
new file mode 100644
index 0000000..8c06935
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+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
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+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
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+0.6 0 0 0.6 0 0 e
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+-1 -0.333 l
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+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
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+-1 0.333 m
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+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
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+64 768 m
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+128 768 l
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+u
+v
+$K_{u,v}$
+
+