diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
index aafbfcd..5797351 100644
--- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
@@ -1327,4 +1327,74 @@
Konstruiere Eingabe für Bin Packing:\\
\( a_1,…,a_n, B= \frac A2, k=2 \) mit \( A = \sum\limits_{i=1}^n a_i \)
+ \includegraphics{bilder/p-np.eps}
+
+ \section{Approximationsalgorithmen}
+
+ \subsection{Bin Packing}
+
+ geg. $a_1,a_2,…,a_n$
+
+ \includegraphics{bilder/approx_bin.eps}
+
+
+ \underline{1. Strategie}
+
+ \begin{itemize}
+ \item sortiere Eingabe aufsteigend zu \( a_1 \le a_2 \le .. \le a_n \)
+ \item fülle bin $i$ so weit wie möglich, für $i=1,2,...$ mit Gegenständen in sortierter Reihenfolge\\
+ \includegraphics{bilder/approx_bin_1.eps}
+ \end{itemize}
+
+ \underline{2. Strategie}
+
+ \begin{itemize}
+ \item sortiere Eingabe absteigend zu \( a_1\ge a_2\ge ... \ge a_n \)
+ \item setze $a_i$ in den ersten bin, in den es noch hinein passt, für $i=1,…,n$.
+ \end{itemize}
+
+ \includegraphics{bilder/approx_bin_2.eps}
+
+
+ \underline{Strategie 3: First Fit (FF)}
+
+ setze $a_i$ in den ersten bin, in den es noch hinein passt, für $i=1,2,…,n$
+
+ Betrachtung zu FF:\\
+ Sei $k^*$ die Anzahl der bins bei einer optimalen Lösung und $k$ die Anzahl der bins, die FF auf $a_1,...,a_n$ benützt.
+
+ Es gilt: $ \sum\limits_{i=1}^n a_i \le k^* $
+
+ Für FF gilt: alle bins, bis auf evtl. den letzten, haben Füllhöhe \(>\frac12\)
+
+ \includegraphics{bilder/approx_bin_3.eps}
+
+ \( \Rightarrow 2 \sum\limits_{i=1}^n a_i > k \)\\
+ = \# bins, wenn alle genau $\frac12$ voll sind.
+
+ Folglich gilt:\\
+ \( k < 2 \sum\limits_{i=1}^n a_i \le 2k^* \)\\
+ \( \Rightarrow k < 2 k^* \)
+
+ Man kann sogar zeigen: $l\le \frac{17}{10} k^* $\\
+ Für FFD gilt sogar: $ k \le \frac{11}{9} k^* $
+
+ \subsection{Multi Processor Scheduling (MPS)}
+
+ geg. $m$ Prozessoren, $n$ Jobs\\
+ mit Laufzeiten $t_1,t_2,…,t_n$ und deadline D.
+
+ gefr. kann man die Jobs so auf die Prozessoren verteilen, dass alle Jobs in Zeit D fertig sind.
+
+ MPS ist NP-vollständig:\\
+ BinPacking $\le^P$ MPS\\
+ \( a_1,…,a_n,k,B \to t_i = a_i, i=1,…,n, m = k, D=B \)
+
+ \underline{Greedy-Strategie:}
+
+ \begin{itemize}
+ \item Ordne Job $i$ dem Prozessor zu, der aktuell die kleinste Ladung hat.
+ \end{itemize}
+
+ Sei $T$ die maximale Laufzeit,
\end{document}
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Makefile b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Makefile
index 0429315..0474773 100644
--- a/Berechenbarkeits-KomplexTh/Makefile
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/Makefile
@@ -1,3 +1,3 @@
Berechenbarkeits-KomplexTh.pdf: Berechenbarkeits-KomplexTh.tex bilder/*.xml
- for FILE in $(find bilder/ -iname '*.xml') ; do ipetoipe -eps -runlatex $FILE ${FILE%.xml}.eps ; done
+ for FILE in $(find bilder/ -iname '*.xml') ; do ipetoipe -eps -runlatex ${FILE} ${FILE%.xml}.eps ; done
pdflatex Berechenbarkeits-KomplexTh.tex
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin.xml
new file mode 100644
index 0000000..901b074
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin.xml
@@ -0,0 +1,286 @@
+
+
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+
+
+
+
+
+0.5 0 0 0.5 0 0 e
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+
+
+
+
+
+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
+h
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+
+
+-0.43 -0.57 m
+0.57 0.43 l
+0.43 0.57 l
+-0.57 -0.43 l
+h
+
+
+-0.43 0.57 m
+0.57 -0.43 l
+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
+h
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+-1 0.333 m
+0 0 l
+-1 -0.333 l
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+48 768 m
+48 720 l
+80 720 l
+80 768 l
+
+
+112 768 m
+112 720 l
+144 720 l
+144 768 l
+
+
+176 768 m
+176 720 l
+208 720 l
+208 768 l
+
+
+32 752 m
+32 768 l
+
+
+32 736 m
+32 720 l
+
+$1$
+
+28 768 m
+36 768 l
+
+
+28 720 m
+36 720 l
+
+bins
+
+64 744 m
+64 720 l
+96 720 l
+96 744 l
+h
+
+
+64 760 m
+96 760 l
+96 760 l
+
+$a_1$
+$a_2$
+
+
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_1.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_1.xml
new file mode 100644
index 0000000..40fbae1
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_1.xml
@@ -0,0 +1,270 @@
+
+
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+
+
+
+
+
+0.5 0 0 0.5 0 0 e
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+
+
+
+
+
+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
+h
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+
+
+-0.43 -0.57 m
+0.57 0.43 l
+0.43 0.57 l
+-0.57 -0.43 l
+h
+
+
+-0.43 0.57 m
+0.57 -0.43 l
+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
+h
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+-1 0.333 m
+0 0 l
+-1 -0.333 l
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+48 768 m
+48 720 l
+80 720 l
+80 768 l
+
+
+112 768 m
+112 720 l
+144 720 l
+144 768 l
+
+
+64 728 m
+96 728 l
+
+
+64 740 m
+96 740 l
+
+
+64 756 m
+96 756 l
+
+
+128 744 m
+160 744 l
+
+$a_1$
+$a_2$
+$a_3$
+$a_4$
+$1$
+$2$
+
+
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_2.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_2.xml
new file mode 100644
index 0000000..5be5a2e
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_2.xml
@@ -0,0 +1,297 @@
+
+
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+
+
+
+
+
+0.5 0 0 0.5 0 0 e
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+
+
+
+
+
+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
+h
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+
+
+-0.43 -0.57 m
+0.57 0.43 l
+0.43 0.57 l
+-0.57 -0.43 l
+h
+
+
+-0.43 0.57 m
+0.57 -0.43 l
+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
+h
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+-1 0.333 m
+0 0 l
+-1 -0.333 l
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+1. Strategie
+
+32 784 m
+32 744 l
+64 744 l
+64 784 l
+h
+
+
+32 780 m
+64 780 l
+64 776 l
+32 776 l
+32 772 l
+64 772 l
+64 768 l
+32 768 l
+32 764 l
+64 764 l
+64 760 l
+32 760 l
+32 756 l
+64 756 l
+64 748 l
+64 752 l
+32 752 l
+32 748 l
+64 748 l
+
+$\frac{1}{10}$
+$\frac{1}{10}$
+$...$
+
+96 784 m
+96 744 l
+128 744 l
+128 784 l
+h
+
+
+144 784 m
+144 744 l
+176 744 l
+176 784 l
+h
+
+
+96 780 m
+128 780 l
+
+
+160 780 m
+192 780 l
+
+$\frac{9}{10}$
+$...$
+$\frac{9}{10}$
+11 bins
+2. Strategie
+10 bins = optimal,
+da alle bins voll sind.
+
+
diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_3.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_3.xml
new file mode 100644
index 0000000..7d451fb
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/approx_bin_3.xml
@@ -0,0 +1,298 @@
+
+
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+
+
+
+
+
+0.5 0 0 0.5 0 0 e
+
+
+0.6 0 0 0.6 0 0 e
+0.4 0 0 0.4 0 0 e
+
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+
+
+
+
+
+-0.5 -0.5 m
+0.5 -0.5 l
+0.5 0.5 l
+-0.5 0.5 l
+h
+
+
+-0.6 -0.6 m
+0.6 -0.6 l
+0.6 0.6 l
+-0.6 0.6 l
+h
+-0.4 -0.4 m
+0.4 -0.4 l
+0.4 0.4 l
+-0.4 0.4 l
+h
+
+
+
+
+
+
+-0.43 -0.57 m
+0.57 0.43 l
+0.43 0.57 l
+-0.57 -0.43 l
+h
+
+
+-0.43 0.57 m
+0.57 -0.43 l
+0.43 -0.57 l
+-0.57 0.43 l
+h
+
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-0.8 0 l
+-1 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+-1 0.333 m
+0 0 l
+-1 -0.333 l
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+0 0 m
+-1 0.333 l
+-1 -0.333 l
+h
+-1 0 m
+-2 0.333 l
+-2 -0.333 l
+h
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+64 768 m
+64 720 l
+96 720 l
+96 768 l
+
+
+112 768 m
+112 720 l
+144 720 l
+144 768 l
+
+
+160 768 m
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+204 704
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+224 704
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diff --git a/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/p-np.xml b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/p-np.xml
new file mode 100644
index 0000000..dfebc5a
--- /dev/null
+++ b/Berechenbarkeits-KomplexTh/bilder/p-np.xml
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+
+NP-vollst$\ddot a$ndig
+
+SAT
+$NP \subseteq EXP$
+P
+$SAT \equiv^P HAM \equiv^P Vertex Cover \equiv^P ...$
+
+